Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=tg(x), n=2;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de ordem até n=2 da função
f(x)=tan(x)
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas de funções trigonométricas, em particular usamos que
ddxtan(x)=sec^2(x)
e que
ddxsec(x)=sec(x)tan(x)

Passo 2

Para achar a primeira derivada f'(x), aplicamos diretamente a regra da derivada da tangente:
f'(x)=ddxtan(x)=sec^2(x)

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=sec^2(x). Usamos a regra da cadeia em
sec^2(x)=(sec(x))^2,
obtendo
f''(x)=ddxl(sec^2(x)r)=2,sec(x),ddxsec(x) =2,sec(x)l(sec(x)tan(x)r) =2,sec^2(x),tan(x)

Resposta

f'(x)=sec^2(x)
f''(x)=2,sec^2(x),tan(x)

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