Exercício 5 (D.L.4.11)
Lembre que os campos lineares A, B in Mn(R) são linearmente conjugados se, e somente se, as matrizes A e B são semelhantes (A=P^-1 B P). Mostre que A e B são linearmente conjugados se, e somente se, são diferencialmente conjugados.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois campos lineares em R^n
X(x)=A,x e Y(y)=B,y
eles são diferencialmente conjugados (isto é, existe difeomorfismo h tal que
Dh(x),A,x ;=;B,h(x) forall x )
se, e somente se, as matrizes A e B são semelhantes, isto é, existe Pin GL(n,R) com
B = P,A,P^-1

Passo 2

Suponha primeiro que A e B são linearmente conjugados, ou seja,
B = P,A,P^-1
para algum P invertível. Defina
h(x) = P,x
Então h é um difeomorfismo linear e sua derivada é constante Dh(x)=P. Logo, para todo x,
Dh(x),A,x ;=;P,A,x ;=;B,P,x ;=;B,h(x)
Isto mostra que h conduz X em Y, ou seja, X e Y são diferencialmente conjugados.

Passo 3

Agora suponha que existe um difeomorfismo h com h(0)=0 e
Dh(x),A,x ;=;B,h(x) forall x em vizinhança de 0 ç
Faça a expansão de Taylor de h em 0:
h(x)=Dh(0),x + o(|x|)
Substituindo em
Dh(x),A,x = B,h(x)
e comparando os termos lineares em x, obtemos
Dh(0),A,x = B,l(Dh(0),xr) Longrightarrow B,Dh(0) = Dh(0),A
Como Dh(0) é invertível, concluímos
B = Dh(0),A,l(Dh(0)r)^-1,
ou seja, A e B são semelhantes.

Resposta

A conclusão é que os campos lineares gerados por A e B são diferencialmente conjugados se, e somente se, A e B são linearmente conjugados, isto é, suas matrizes são semelhantes.

Exercícios relacionados