Exercício 5 (D.L.4.11)
Lembre que os campos lineares
são linearmente conjugados se, e somente se, as matrizes
e
são semelhantes
. Mostre que
e
são linearmente conjugados se, e somente se, são diferencialmente conjugados.
Lembre que os campos lineares
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois campos lineares em
eles são diferencialmente conjugados (isto é, existe difeomorfismo
tal que
se, e somente se, as matrizes
e
são semelhantes, isto é, existe
com
Passo 2
Suponha primeiro que
e
são linearmente conjugados, ou seja,
para algum
invertível. Defina
Então
é um difeomorfismo linear e sua derivada é constante
. Logo, para todo
,
Isto mostra que
conduz
em
, ou seja,
e
são diferencialmente conjugados.
Passo 3
Agora suponha que existe um difeomorfismo
com
e
Faça a expansão de Taylor de
em
:
Substituindo em
e comparando os termos lineares em
, obtemos
Como
é invertível, concluímos
ou seja,
e
são semelhantes.
Resposta
A conclusão é que os campos lineares gerados por
e
são diferencialmente conjugados se, e somente se,
e
são linearmente conjugados, isto é, suas matrizes são semelhantes.