Exercício 7 (D.L.5.13)
O Teorema do Ponto fixo de Brouwer afirma que qualquer aplicação contínua da bola fechada unitária B^m= x in R^m ;|x| <= 1 nela mesmo tem um ponto fixo. Prove este teorema no caso m=2 para uma aplicação g: B^2 B^2
(a) de classe C^1, encontrando uma singularidade do campo de vetores f(x)=g(x)-x e, em seguida, para uma aplicação
(b) contínua, usando o fato de que qualquer função contínua é o limite uniforme de funções de classe C^1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda aplicação
;gcolon B^2to B^2,
onde
B^2=xinR^2:|x|<=1,
contínua (e C^1 em (a)) tem um ponto fixo xin B^2 tal que g(x)=x.
Definimos o campo de vetores
f(x)=g(x)-x
e queremos provar que f tem pelo menos uma singularidade (zero) em B^2. Em (a) assumimos gin C^1 e usamos índices de vetores; em (b) aproximamos g por C^1.

Passo 2

(a) Suponha, por absurdo, que não exista xin B^2 com f(x)=0. Em particular, para todo x em
,S^1=x:|x|=1
temos f(x)neq0. Observemos a componente radial de f em xin S^1:
xcdot f(x) = xcdot g(x);-;xcdot x <= |x|,|g(x)| - |x|^2 <= 1cdot1 - 1 = 0
Logo f(x) nunca aponta estritamente para fora da bola; na verdade ele aponta tangencialmente ou para dentro. Isso garante que o índice de f ao longo de partial B^2=S^1 está bem definido.

Passo 3

Para calcular o índice na fronteira, parametrizamos
x(theta)=(costheta,sintheta),
thetain[0,2pi]. O vetor fl(x(theta)r) faz exatamente uma volta em torno da origem à medida que theta vai de 0 a 2pi, porque seu ângulo difere do de -x(theta) por menos de tfracpi2 e, então, acompanha o giro de x(theta). Concluímos que
indS^1(f)=1
Pelo Teorema de Poincaré–Hopf para domínios em R^2, a soma dos índices dos zeros de f dentro de B^2 é igual a indS^1(f)=1. Assim f deve ter pelo menos um zero interior, i.e.\ existe xin B^2 com f(x)=0, isto é g(x)=x.

Passo 4

(b) Seja agora g apenas contínua. Como o conjunto B^2 é compacto, pelo Teorema de Stone–Weierstrass existe uma sequência C^1 ,gncolon B^2toR^2
tal que gnto g uniformemente e ainda, para n grande, gn(B^2)subset B^2. Aplicando (a) a cada gn, obtemos xnin B^2 com
gn(xn)=xn
Como B^2 é compacto, xn tem uma subsequência convergente xnkto x^*in B^2. Pela convergência uniforme segue
g(x^*) = limktoinftygnk(xnk) = limktoinftyxnk = x^*,
logo x^* é ponto fixo de g.

Resposta

Qualquer aplicação contínua gcolon B^2to B^2 tem ao menos um ponto fixo em B^2.

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