Exercício 7 (D.L.5.13)
O Teorema do Ponto fixo de Brouwer afirma que qualquer aplicação contínua da bola fechada unitária
nela mesmo tem um ponto fixo. Prove este teorema no caso
para uma aplicação
(a) de classe
, encontrando uma singularidade do campo de vetores
e, em seguida, para uma aplicação
(b) contínua, usando o fato de que qualquer função contínua é o limite uniforme de funções de classe
.
O Teorema do Ponto fixo de Brouwer afirma que qualquer aplicação contínua da bola fechada unitária
(a) de classe
(b) contínua, usando o fato de que qualquer função contínua é o limite uniforme de funções de classe
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda aplicação
,
onde
onde
contínua (e
em (a)) tem um ponto fixo
tal que
.
Definimos o campo de vetores
Definimos o campo de vetores
e queremos provar que
tem pelo menos uma singularidade (zero) em
. Em (a) assumimos
e usamos índices de vetores; em (b) aproximamos
por
.
Passo 2
(a) Suponha, por absurdo, que não exista
com
. Em particular, para todo
em
temos . Observemos a componente radial de
em
:
temos
Logo
nunca aponta estritamente para fora da bola; na verdade ele aponta tangencialmente ou para dentro. Isso garante que o índice de
ao longo de
está bem definido.
Passo 3
Para calcular o índice na fronteira, parametrizamos
,
. O vetor
faz exatamente uma volta em torno da origem à medida que
vai de
a
, porque seu ângulo difere do de
por menos de
e, então, acompanha o giro de
. Concluímos que
Pelo Teorema de Poincaré–Hopf para domínios em
, a soma dos índices dos zeros de
dentro de
é igual a
. Assim
deve ter pelo menos um zero interior, i.e.\ existe
com
, isto é
.
Passo 4
(b) Seja agora
apenas contínua. Como o conjunto
é compacto, pelo Teorema de Stone–Weierstrass existe uma sequência
tal que uniformemente e ainda, para
grande,
. Aplicando (a) a cada
, obtemos
com
tal que
Como
é compacto,
tem uma subsequência convergente
. Pela convergência uniforme segue
logo
é ponto fixo de
.
Resposta
Qualquer aplicação contínua
tem ao menos um ponto fixo em
.