Exercício 6 (D.L.4.12)
Sejam f: E R^n um campo, K subset E um compacto e r>0 dados. Mostre que existe alpha>0 tal que, para cada x0 in K, a solução x de x^prime=f(x) com x(0)=x0 leva pelo menos tempo alpha para se afastar uma distância r de x, ou seja, vale |x(t)-x0|<r para cada 0 <= t <= alpha.

Passo 1

O enunciado trata do campo de vetores f: E to R^n, onde Ksubset E é compacto e r>0 é fixo. Queremos mostrar que existe um tempo uniforme alpha>0 tal que, para toda condição inicial x(0)=x0 com x0in K, a solução de
x' = f(x)
satisfaz
lvert x(t)-x0rvert < r para todo 0<= t<=alpha
O conteúdo envolvido é a existência de soluções de EDOs e estimativa de seu desvio pelo teorema do valor médio em integrais.

Passo 2

Definimos o conjunto
Kr = ,xin E : dist(x,K)<= r
Como K é compacto e r é finito, Kr é compacto em R^n. Além disso, as soluções que saem de qualquer x0in K e permanecem com lvert x(t)-x0rvert<r estão contidas em Kr.

Passo 3

Pela continuidade de f em E e pelo fato de Kr ser compacto, o módulo de f atinge máximo em Kr. Logo, existe
M = supxin Krlvert f(x)rvert < +infty

Passo 4

Se x(t) é solução com x(0)=x0in K, então para todo t em que x(s)in Kr para 0<= s<= t vale
lvert x(t)-x0rvert = llvert integral0^tx'(tau),dtaurrvert = llvert integral0^tfl(x(tau)r),dtaurrvert <= integral0^tlvert f(x(tau))rvert,dtau <= integral0^tM,dtau = M,t
Se escolhermos
alpha = rM,
então para todo 0<= t<= alpha temos lvert x(t)-x0rvert<= M,t<= Malpha = r, ou seja, a solução permanece dentro de Kr até t=alpha.

Resposta

Podemos escolher
alpha = r supxin Krlvert f(x)rvert,,
garantindo que lvert x(t)-x0rvert<r para todo 0<= t<=alpha e todo x0in K.

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