Exercício 6 (D.L.4.12)
Sejam um campo, um compacto e dados. Mostre que existe tal que, para cada , a solução de com leva pelo menos tempo para se afastar uma distância de , ou seja, vale para cada .
Passo 1
O enunciado trata do campo de vetores , onde é compacto e é fixo. Queremos mostrar que existe um tempo uniforme tal que, para toda condição inicial com , a solução de
satisfaz
O conteúdo envolvido é a existência de soluções de EDOs e estimativa de seu desvio pelo teorema do valor médio em integrais.
Passo 2
Definimos o conjunto
Como é compacto e é finito, é compacto em . Além disso, as soluções que saem de qualquer e permanecem com estão contidas em .
Passo 3
Pela continuidade de em e pelo fato de ser compacto, o módulo de atinge máximo em . Logo, existe
Passo 4
Se é solução com , então para todo em que para vale
Se escolhermos
alpha = rM,
então para todo 0<= t<= alpha temos lvert x(t)-x0rvert<= M,t<= Malpha = r, ou seja, a solução permanece dentro de Kr até t=alpha.
Resposta
Podemos escolher
alpha = r supxin Krlvert f(x)rvert,,
garantindo que lvert x(t)-x0rvert<r para todo 0<= t<=alpha e todo x0in K.