Exercício 7 (D.L.4.13)
Verifique quais dos sistemas lineares x^prime=A x são campos gradientes (ou seja, A x=-nabla U(x), para alguma função diferenciável U: R^2 R ), no caso em que A in M2(R) está na forma de Jordan.

Passo 1

O enunciado pede para identificar, dentre as formas de Jordan em , quais matrizes dão origem a um campo de gradiente na dinâmica
isto é, queremos para alguma função . O que precisamos usar é a condição de integrabilidade para um campo gradiente em : se
então deve valer

Passo 2

Escrevendo A=(aij) genérico e
f(x) = a11x1 + a12x2 [6pt] a21x1 + a22x2,
temos
partial f1partial x2 = a12, partial f2partial x1 = a21
Portanto a condição de ser gradiente é
a12 = a21,
isto é, A deve ser simétrica.]

Passo 3

Agora verificamos as formas de Jordan reais em dimensão 2:
(i) Diagonal real com autovalores lambda1,lambda2:
J = lambda1 & 0[3pt]0 & lambda2
Aqui a12=0 e a21=0, logo a12=a21 e J é simétrica. Portanto esse caso gera um campo gradiente, com potencial
U(x1,x2) = -lambda12,x1^2 ;-;lambda22,x2^2 ]

Passo 4

(ii) Bloco de Jordan não diagonalizável com autovalor lambda:
J = lambda & 1[3pt]0 & lambda
Aqui a12=1 e a21=0, de modo que a12neq a21. Logo não satisfaz a condição de integrabilidade e não é gradiente.]

Passo 5

(iii) Bloco real correspondente a autovalores complexos alphapm ibeta:
J = alpha & -beta[3pt]beta & alpha
Temos a12=-beta e a21=+beta. A condição a12=a21 implica -beta=beta, ou seja beta=0. Mas beta=0 faz o bloco colapsar no caso diagonal do item (i). Assim, para betaneq0 não é gradiente.]

Resposta

Os sistemas x'=A x são campos gradientes apenas quando A na forma de Jordan é diagonal real,
A = lambda1 & 0[3pt]0 & lambda2,
com lambda1,lambda2inR.
Todas as demais formas de Jordan (bloco não diagonalizável ou bloco de rota\c{c}~ao) não produzem campo gradiente.]

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