Exercício 7 (D.L.4.13)
Verifique quais dos sistemas lineares
são campos gradientes (ou seja,
, para alguma função diferenciável
), no caso em que
está na forma de Jordan.
Verifique quais dos sistemas lineares
Passo 1
O enunciado pede para identificar, dentre as formas de Jordan em
, quais matrizes
dão origem a um campo de gradiente na dinâmica
isto é, queremos
para alguma função
. O que precisamos usar é a condição de integrabilidade para um campo gradiente em
: se
então deve valer
Passo 2
Escrevendo
genérico e
temos
Portanto a condição de ser gradiente é
isto é,
deve ser simétrica.]
Passo 3
Agora verificamos as formas de Jordan reais em dimensão
:
(i) Diagonal real com autovalores
:
Aqui
e
, logo
e
é simétrica. Portanto esse caso gera um campo gradiente, com potencial
Passo 4
(ii) Bloco de Jordan não diagonalizável com autovalor
:
Aqui
e
, de modo que
. Logo não satisfaz a condição de integrabilidade e não é gradiente.]
Passo 5
(iii) Bloco real correspondente a autovalores complexos
:
Temos
e
. A condição
implica
, ou seja
. Mas
faz o bloco colapsar no caso diagonal do item (i). Assim, para
não é gradiente.]
Resposta
Os sistemas
são campos gradientes apenas quando
na forma de Jordan é diagonal real,
com
.
Todas as demais formas de Jordan (bloco não diagonalizável ou bloco de rota\c{c}~ao) não produzem campo gradiente.]
Todas as demais formas de Jordan (bloco não diagonalizável ou bloco de rota\c{c}~ao) não produzem campo gradiente.]