Sejam e dois campos de vetores definidos em todo o plano tais que
para todo . Suponha que possui uma órbita periódica . Mostre que possui um ponto de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado considera dois campos de vetores contínuos tais que
para todo . Há ainda uma órbita periódica de , ou seja, é uma curva fechada simples que é trajeto de . Queremos mostrar que tem pelo menos um zero (ponto de equilíbrio) dentro da região limitada por .
Passo 2
Como é uma órbita de , se paramos por arco-comprimento , o vetor tangente é colinear a . Mas implica que, em cada ponto de , é ortogonal ao vetor tangente . Logo, nunca é tangente a , ou seja, é sempre “normal” à curva.
Passo 3
Como é contínuo e não se anula em , podemos definir uma aplicação contínua do círculo para o círculo dos vetores unitários em :
Esta aplicação mede a direção de g ao longo de uma volta completa em gamma.
Passo 4
Ao percorrermos gamma uma vez no sentido de f, o vetor tangente x'(s) completa uma volta de 2pi. Como g é sempre ortogonal a x'(s), o vetor normal unitário também dá exatamente uma volta de 2pi, isto é, phi tem índice (ou grau) igual a +1 ou -1. Em particular, o grau de phi é não-nulo.
Passo 5
Pelo teorema do grau (ou pelo teorema de Poincaré–Hopf em domínios planos), o grau de phi na fronteira de uma região iguala a soma dos índices dos zeros de g no interior dessa região. Como o grau é pm1, a soma dos índices dos zeros de g dentro de gamma é não-nula, e portanto g possui pelo menos um zero no interior de gamma.
Resposta
g possui pelo menos um ponto de equilíbrio dentro da órbita periódica gamma.