Exercício 8 (D.L.6.14)
Sejam f e g dois campos de vetores definidos em todo o plano R^2 tais que
lang<= f(x), g(x)rang<==0
para todo x in R^2. Suponha que f possui uma órbita periódica gamma. Mostre que g possui um ponto de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado considera dois campos de vetores contínuos f,gcolonR^2toR^2 tais que
lang<= f(x),g(x)rang<= = 0
para todo x. Há ainda uma órbita periódica gamma de f, ou seja, gamma é uma curva fechada simples que é trajeto de f. Queremos mostrar que g tem pelo menos um zero (ponto de equilíbrio) dentro da região limitada por gamma.

Passo 2

Como gamma é uma órbita de f, se paramos gamma por arco-comprimento smapsto x(s), o vetor tangente x'(s) é colinear a fl(x(s)r). Mas lang<= f(x),g(x)rang<==0 implica que, em cada ponto de gamma, g(x) é ortogonal ao vetor tangente x'(s). Logo, g nunca é tangente a gamma, ou seja, é sempre “normal” à curva.

Passo 3

Como g é contínuo e não se anula em gamma, podemos definir uma aplicação contínua do círculo gammacong S^1 para o círculo dos vetores unitários em R^2:
phicolon S^1to S^1, phil(x(s)r) =gl(x(s)r)l|gl(x(s)r)r|
Esta aplicação mede a direção de g ao longo de uma volta completa em gamma.

Passo 4

Ao percorrermos gamma uma vez no sentido de f, o vetor tangente x'(s) completa uma volta de 2pi. Como g é sempre ortogonal a x'(s), o vetor normal unitário também dá exatamente uma volta de 2pi, isto é, phi tem índice (ou grau) igual a +1 ou -1. Em particular, o grau de phi é não-nulo.

Passo 5

Pelo teorema do grau (ou pelo teorema de Poincaré–Hopf em domínios planos), o grau de phi na fronteira de uma região iguala a soma dos índices dos zeros de g no interior dessa região. Como o grau é pm1, a soma dos índices dos zeros de g dentro de gamma é não-nula, e portanto g possui pelo menos um zero no interior de gamma.

Resposta

g possui pelo menos um ponto de equilíbrio dentro da órbita periódica gamma.

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