Exercício 9 (D.L.6.16)
Mostre que as únicas órbitas compactas de um campo de vetores definido no plano todo são as singularidades e as órbitas periódicas.

Passo 1

O enunciado pede para um campo de vetores
;fcolon R^2toR^2
definido em todo o plano mostrar que toda órbita cujo fecho seja compacto só pode ser de dois tipos:
– uma singularidade (órbita constante), ou
– uma órbita periódica (ciclo fechado).
Vamos usar a unicidade do fluxo e um argumento topológico sobre aplicações contínuas de R em conjuntos compactos.

Passo 2

Se xinR^2 é ponto singular, isto é f(x)=0, então a solução que passa por x é constante:
phi(t,x)=xforall t,
logo a órbita é o singleton x, que é compacto.

Passo 3

Agora suponha que x não seja singular. Defina
gammacolon RtoR^2, gamma(t)=phi(t,x)
Como a órbita é compacta e não-constante, gamma é contínua e não-colapsa tudo em um ponto. Se gamma fosse injetiva, então seria um homeomorfismo entre R (não compacto) e o fecho compacto da órbita, o que é impossível. Logo gamma não é injetiva.

Passo 4

Da não-injetividade seguem t1<t2 tais que
phi(t1,x)=phi(t2,x)
Pela unicidade de soluções do fluxo, isso implica
phi(t+T,x)=phi(t,x)forall t,
onde T=t2-t1>0. Assim a órbita fecha-se num ciclo periódico de período T.

Resposta

As únicas órbitas compactas são as singularidades (órbitas constantes) e as órbitas periódicas (ciclos fechados).

Exercícios relacionados