Exercício 9 (D.L.6.16)
Mostre que as únicas órbitas compactas de um campo de vetores definido no plano todo são as singularidades e as órbitas periódicas.
Mostre que as únicas órbitas compactas de um campo de vetores definido no plano todo são as singularidades e as órbitas periódicas.
Passo 1
O enunciado pede para um campo de vetores
definido em todo o plano mostrar que toda órbita cujo fecho seja compacto só pode ser de dois tipos:
– uma singularidade (órbita constante), ou
– uma órbita periódica (ciclo fechado).
Vamos usar a unicidade do fluxo e um argumento topológico sobre aplicações contínuas de em conjuntos compactos.
definido em todo o plano mostrar que toda órbita cujo fecho seja compacto só pode ser de dois tipos:
– uma singularidade (órbita constante), ou
– uma órbita periódica (ciclo fechado).
Vamos usar a unicidade do fluxo e um argumento topológico sobre aplicações contínuas de
Passo 2
Se
é ponto singular, isto é
, então a solução que passa por
é constante:
logo a órbita é o singleton
, que é compacto.
Passo 3
Agora suponha que
não seja singular. Defina
Como a órbita é compacta e não-constante,
é contínua e não-colapsa tudo em um ponto. Se
fosse injetiva, então seria um homeomorfismo entre
(não compacto) e o fecho compacto da órbita, o que é impossível. Logo
não é injetiva.
Passo 4
Da não-injetividade seguem
tais que
Pela unicidade de soluções do fluxo, isso implica
onde
. Assim a órbita fecha-se num ciclo periódico de período
.
Resposta
As únicas órbitas compactas são as singularidades (órbitas constantes) e as órbitas periódicas (ciclos fechados).