Exercício 13 (D.L.6.20)
Sejam f: E R^2 um campo de vetores e U um aberto não vazio tal que o fecho barU subset E de U é compacto e positivamente invariante pelo fluxo de f. Mostre que se f tem exatamente uma singularidade em U e se esta singularidade é uma fonte, então existe uma órbita periódica de f em barU.

Passo 1

O enunciado dá um campo de vetores fcolon EtoR^2 e um aberto não vazio Usubset E tal que overline U é compacto e positivamente invariante pelo fluxo de f. Há exatamente uma singularidade pin U, e esta singularidade é uma fonte (isto é, todos os autovalores da linearização em p têm parte real positiva). Queremos mostrar que existe uma órbita periódica de f contida em overline U. Para isso, vamos usar conceitos de conjunto- omega e o Teorema de Poincaré–Bendixson.

Passo 2

Escolho um ponto x0in Usetminusp. Como overline U é positivamente invariante, a órbita para frente phit(x0) fica contida em overline U para todo t>=0. Defino o conjunto- omega de x0 por
omega(x0) =l,yinoverline U:exists,tnto+infty com phitn(x0)to yr
Pelo Teorema de existência de conjunto- omega, concluímos que omega(x0) é não vazio, compacto, conexo e invariante pelo fluxo de f.

Passo 3

Mostremos que omega(x0) não contém singularidades. Como p é fonte, existe uma vizinhança V de p tal que, para todo xin Vsetminusp, a órbita phit(x) sai de V em algum tempo T>0 e não retorna (instabilidade de p). Em particular, p não pode ser ponto-limite para frente de x0. Logo, nenhuma singularidade de f (e a única é p) pertence a omega(x0).

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Poincaré–Bendixson: num campo de vetores em R^2, qualquer conjunto- omega não vazio, compacto, conexo, invariante e que não contenha pontos de equilíbrio deve ser uma órbita periódica ou consistir de um ciclo-livre. Como omega(x0) não contém equilibria e é invariante, concluímos que
omega(x0) é justamente uma órbita periódica éóó

Resposta

Existe uma órbita periódica de f em overline U.

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