Exercício 2 (D.L.5.26)
Encontre uma função de Liapunov estrita para o ponto de equilíbrio
do sistema
Encontre uma função de Liapunov estrita para o ponto de equilíbrio
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o ponto de equilíbrio
é assintoticamente estável usando uma função de Lyapunov estrita. Vamos escolher uma candidata (V\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}] positiva definida e mostrar que sua derivada ao longo das trajetórias é negativa, exceto na origem.
Passo 2
Proponha a função
Essa
é contínua,
e
para todo
.
Passo 3
Calcule a derivada de
ao longo das soluções do sistema:
Simplificando, obtemos
Passo 4
Reescreva
em forma fatorada:
Num vizinhança do ponto
, por exemplo no conjunto
temos
e
. Logo, para todo
as parcelas
e
são positivas e, portanto,
. Isso mostra que
é uma função de Lyapunov estrita local em
.
Resposta
A função
é uma função de Lyapunov estrita para
, garantindo estabilidade assintótica local.