Exercício 2 (D.L.5.26)
Encontre uma função de Liapunov estrita para o ponto de equilíbrio (0,0) do sistema
c x1^prime=-2 x1-x2^2 x2^prime=-x2-x1^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o ponto de equilíbrio
é assintoticamente estável usando uma função de Lyapunov estrita. Vamos escolher uma candidata (V\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}] positiva definida e mostrar que sua derivada ao longo das trajetórias é negativa, exceto na origem.

Passo 2

Proponha a função
V(x1,x2)=x1^2+x2^2
Essa V é contínua, V(0,0)=0 e V(x1,x2)>0 para todo (x1,x2)neq(0,0).

Passo 3

Calcule a derivada de V ao longo das soluções do sistema:
dot V =2x1x1'+2x2x2' =2x1(-2x1-x2^2)+2x2(-x2-x1^2)
Simplificando, obtemos
dot V=-4x1^2-2x1x2^2-2x2^2-2x2x1^2

Passo 4

Reescreva dot V em forma fatorada:
dot V =-2x1^2(2+x2)-2x2^2(1+x1)
Num vizinhança do ponto (0,0), por exemplo no conjunto
D=(x1,x2)mid |x1|<1,;|x2|<2,
temos 2+x2>0 e 1+x1>0. Logo, para todo (x1,x2)in Dsetminus(0,0) as parcelas x1^2 e x2^2 são positivas e, portanto, dot V<0. Isso mostra que V é uma função de Lyapunov estrita local em D.

Resposta

A função
V(x1,x2)=x1^2+x2^2
é uma função de Lyapunov estrita para (0,0), garantindo estabilidade assintótica local.

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