Exercício 1 (S.5.10)
Considere uma partícula movendo-se sob a influência de uma função potencial
de classe
, em que
é um aberto. Temos então a seguinte EDO:
Usando funções de Liapunov, prove o Teorema de Lagrange, segundo o qual uma singularidade
da EDO acima é estável se
for um mínimo local estrito de
.
Considere uma partícula movendo-se sob a influência de uma função potencial
Passo 1
O enunciado dá a EDO de uma partícula em potencial
com
de classe
e diz que
é uma singularidade (equilíbrio). Queremos provar que, se
é mínimo local estrito de
, então
é estável no sentido de Lyapunov. Vamos usar a energia mecânica como função de Lyapunov.
Passo 2
Definimos a candidata de Lyapunov
Note que
-
. - Como
é mínimo local estrito de , existe vizinhança onde para . Logo sempre que .
Assimé contínua, e só em .
Passo 3
Calculamos a derivada de
ao longo de uma solução
:
Ou seja,
é constante ao longo das trajetórias.
Passo 4
Provar estabilidade significa: dado qualquer
e sua bola aberta
encontrar tal que toda solução iniciada em
permaneça em para todo
.
encontrar
permaneça em
Como
é contínua e
, existe
tal que
Por outro lado, novamente pela continuidade de
, existe
tal que
Assim, se
, então
e, como é constante,
para todo
. Portanto
permanece em
, o que mostra estabilidade.
e, como
Resposta
A singularidade
é estável se
for mínimo local estrito de
.