Exercício 1 (S.5.10)
Considere uma partícula movendo-se sob a influência de uma função potencial P: E R de classe C^2, em que E subset R^3 é um aberto. Temos então a seguinte EDO:
c x^prime=v v^prime=-nabla P(x)
Usando funções de Liapunov, prove o Teorema de Lagrange, segundo o qual uma singularidade (x0, 0) da EDO acima é estável se x0 for um mínimo local estrito de P.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de uma partícula em potencial
x' = v, v' = -nabla P(x),
com Pcolon EsubsetR^3toR de classe C^2 e diz que (x0,0) é uma singularidade (equilíbrio). Queremos provar que, se x0 é mínimo local estrito de P, então (x0,0) é estável no sentido de Lyapunov. Vamos usar a energia mecânica como função de Lyapunov.

Passo 2

Definimos a candidata de Lyapunov
V(x,v) ;=; P(x)-P(x0);+;tfrac12|v|^2
Note que
  1. V(x0,0)=0.
  2. Como x0 é mínimo local estrito de P, existe vizinhança onde P(x)-P(x0)>0 para xneq x0. Logo V(x,v)>0 sempre que (x,v)neq(x0,0).
    Assim V é contínua, V>=0 e V=0 só em (x0,0).

Passo 3

Calculamos a derivada de V ao longo de uma solução (x(t),v(t)):
ddtV(x(t),v(t)) =nabla P(x)cdot x'+vcdot v' =nabla P(x)cdot v ;+;vcdotl(-nabla P(x)r) =0
Ou seja, V é constante ao longo das trajetórias.

Passo 4

Provar estabilidade significa: dado qualquer varepsilon>0 e sua bola aberta
;U=(x,v)mid|(x,v)-(x0,0)|<varepsilon,
encontrar de<a>0 tal que toda solução iniciada em
|(x(0),v(0))-(x0,0)|<de<a
permaneça em U para todo t>=0.
Como V é contínua e V(x0,0)=0, existe alpha>0 tal que
(x,v)mid V(x,v)<alphasubset U
Por outro lado, novamente pela continuidade de V, existe de<a>0 tal que
|(x,v)-(x0,0)|<de<a Longrightarrow V(x,v)<alpha
Assim, se |(x(0),v(0))-(x0,0)|<de<a, então
V(x(0),v(0))<alpha
e, como V é constante, V(x(t),v(t))<alpha para todo t. Portanto
(x(t),v(t)) permanece em V<alphasubset U, o que mostra estabilidade.

Resposta

A singularidade (x0,0) é estável se x0 for mínimo local estrito de P.

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