Exercício 3 (D.L.5.27)
Considere o sistema não-linear
c x1^prime=x2-x1 g(x1, x2) x2^prime=-x1-x2 g(x1, x2)
em R^2, onde (x1, x2) mapsto g(x1, x2) é analítica na origem e satisfaz g(0,0)=0 e g(x1, x2) >= 0 numa vizinhança de (0,0). Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável mostrando que V(x1, x2)=x1^2+x2^2 é uma função de Liapunov.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1' = x2 - x1,g(x1,x2), x2' = -x1 - x2,g(x1,x2),
com g analítica em torno da origem, g(0,0)=0 e g(x1,x2)>=0 numa vizinhança de (0,0). Queremos mostrar que a origem é um equilíbrio estável usando a função de Lyapunov
V(x1,x2) = x1^2 + x2^2

Passo 2

Verificamos que V é positiva definida em torno da origem, pois
V(x1,x2) = x1^2 + x2^2 > 0
para (x1,x2)neq(0,0) e V(0,0)=0.

Passo 3

Calculamos a derivada de V ao longo das soluções do sistema:
dot V = 2x1x1' + 2x2x2' = 2x1(x2-x1g)-2x2(x1+x2g)
Reagrupando termos, os cruzados 2x1x2 cancelam, restando
dot V = -2l(x1^2+x2^2r),g(x1,x2)
Como g(x1,x2)>=0, segue que dot V<=0 numa vizinhança da origem.

Passo 4

Concluímos que V é positiva definida e dot V é semidefinida negativa. Pelo Teorema de Lyapunov para estabilidade (não necessariamente assintótica), a origem do sistema é um ponto de equilíbrio estável.

Resposta

A função V(x1,x2)=x1^2+x2^2 satisfaz os requisitos de Lyapunov (positiva definida e dot V<=0), logo a origem é um equilíbrio estável.

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