Exercício 3 (D.L.5.27)
Considere o sistema não-linear
em
, onde
é analítica na origem e satisfaz
e
numa vizinhança de
. Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável mostrando que
é uma função de Liapunov.
Considere o sistema não-linear
Passo 1
O enunciado dá o sistema
com
analítica em torno da origem,
e
numa vizinhança de
. Queremos mostrar que a origem é um equilíbrio estável usando a função de Lyapunov
Passo 2
Verificamos que
é positiva definida em torno da origem, pois
para
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
ao longo das soluções do sistema:
Reagrupando termos, os cruzados
cancelam, restando
Como
, segue que
numa vizinhança da origem.
Passo 4
Concluímos que
é positiva definida e
é semidefinida negativa. Pelo Teorema de Lyapunov para estabilidade (não necessariamente assintótica), a origem do sistema é um ponto de equilíbrio estável.
Resposta
A função
satisfaz os requisitos de Lyapunov (positiva definida e
), logo a origem é um equilíbrio estável.