Exercício 2 (D.L.6.2)
Mostre que o fecho (em ) e o interior de um conjunto invariante pelo fluxo de um campo de vetores são invariantes pelo fluxo. Mostre que a intersecção de uma coleção qualquer de conjuntos invariantes é invariante.
Passo 1
Resumindo o enunciado, seja de classe com fluxo . Dizemos que um conjunto é invariante pelo fluxo se para todo
O que precisamos mostrar é:
Se é invariante então (fecho em ) é invariante.
Se é invariante então é invariante.
Se é uma coleção arbitrária de conjuntos invariantes, então é invariante.
Passo 2
(Propriedade da continuidade do fluxo e fecho)
Como cada varphitcolon Eto E é contínua em x, se xinA então existe uma sequência (xk)subset A com xkto x. Aplicando varphit em cada termo e usando continuidade,
varphit(xk);xrightarrow[ktoinfty];varphit(x)
Mas como A é invariante, varphit(xk)in A para todo k. Logo varphit(x)inA. Isso prova
varphitl(Ar)subsetA,
ou seja, A é invariante.
Passo 3
(Propriedade de homeomorfismo do fluxo e interior)
Cada é na verdade um difeomorfismo em seu domínio, logo é um homeomorfismo: contínuo e com inversa contínua. Se , existe uma bola aberta contendo . Como leva abertos em abertos e , segue que é um aberto em que contém . Portanto e
assim é invariante.
Passo 4
(Interseção de invariantes)
Se cada Ai é invariante, então para todo t
Ficou provado que, dado um conjunto invariante , tanto quanto são invariantes; e que a interseção arbitrária de conjuntos invariantes também é invariante.