Exercício 3 (D.L.6.3)
Mostre que os conjuntos estável e instável de uma singularidade de um campo f: E R^n (e, em particular, a bacia de atração de uma singularidade assintoticamente estável) são sempre conjuntos invariantes pelo fluxo do campo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado o campo vetorial
dot x = f(x) em um aberto EsubsetR^n e uma singularidade x^* tal que f(x^*)=0, os conjuntos
W^s(x^*) = lxin Emid limtto+inftyphit(x)=x^*r,
W^u(x^*) = lxin Emid limtto -inftyphit(x)=x^*r
são invariantes pelo fluxo phit. Em particular, a bacia de atração de x^*, no caso de estabilidade assintótica, é justamente W^s(x^*).

Passo 2

Lembramos que o fluxo phitcolon Eto E satisfaz a propriedade de grupo (ou semigrupo):
phit+s(x) ;=;phitl(phis(x)r) forall,t,sinR
em que estiver definido. Essa identidade será usada para provar a invariância.

Passo 3

Para mostrar que W^s(x^*) é invariante, tomemos qualquer xin W^s(x^*) e seja sinR tal que phis(x) exista. Então
limtto+inftyphitl(phis(x)r) =limtto+inftyphit+s(x) =x^*,
pois t+sto+infty quando tto+infty e por hipótese phit+s(x)to x^*. Logo phis(x)in W^s(x^*), ou seja,
phisl(W^s(x^*)r)subset W^s(x^*),
o que prova a invariância de W^s(x^*).

Passo 4

De modo análogo, para W^u(x^*) tomamos xin W^u(x^*) e um sinR. Então
limtto-inftyphitl(phis(x)r) =limtto-inftyphit+s(x) =x^*,
pois t+sto-infty quando tto-infty e phit+s(x)to x^*. Assim phis(x)in W^u(x^*) e
phisl(W^u(x^*)r)subset W^u(x^*),
mostrando que W^u(x^*) é invariante.

Passo 5

Quando a singularidade x^* é assintoticamente estável, sua bacia de atração é exatamente W^s(x^*). Como já provamos que W^s(x^*) é invariante, segue que a bacia de atração também é um conjunto invariante pelo fluxo.

Resposta

Os conjuntos estável W^s(x^*), instável W^u(x^*) e, em particular, a bacia de atração de uma singularidade assintoticamente estável são invariantes sob o fluxo associado ao campo.

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