Exercício 3 (D.L.6.3)
Mostre que os conjuntos estável e instável de uma singularidade de um campo
(e, em particular, a bacia de atração de uma singularidade assintoticamente estável) são sempre conjuntos invariantes pelo fluxo do campo.
Mostre que os conjuntos estável e instável de uma singularidade de um campo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado o campo vetorial
em um aberto
e uma singularidade
tal que
, os conjuntos
são invariantes pelo fluxo
. Em particular, a bacia de atração de
, no caso de estabilidade assintótica, é justamente
.
Passo 2
Lembramos que o fluxo
satisfaz a propriedade de grupo (ou semigrupo):
em que estiver definido. Essa identidade será usada para provar a invariância.
Passo 3
Para mostrar que
é invariante, tomemos qualquer
e seja
tal que
exista. Então
pois
quando
e por hipótese
. Logo
, ou seja,
o que prova a invariância de
.
Passo 4
De modo análogo, para
tomamos
e um
. Então
pois
quando
e
. Assim
e
mostrando que
é invariante.
Passo 5
Quando a singularidade
é assintoticamente estável, sua bacia de atração é exatamente
. Como já provamos que
é invariante, segue que a bacia de atração também é um conjunto invariante pelo fluxo.
Resposta
Os conjuntos estável
, instável
e, em particular, a bacia de atração de uma singularidade assintoticamente estável são invariantes sob o fluxo associado ao campo.