Exercício 1 (D.L.6.1)
Seja
uma função de Liapunov para o campo
na singularidade
. Mostre que, para qualquer
, a imagem inversa
é positivamente invariante pelo fluxo do campo.
Seja
Passo 1
O enunciado trata de um campo de vetores
com singularidade em
e de uma função de Liapunov
(onde
) satisfazendo as condições usuais:
,
,
para
e
em
. Define-se o subnível
e o objetivo é mostrar que
é positivamente invariante pelo fluxo de
. Vamos usar a propriedade de decrescimento de
ao longo das soluções para concluir a invariância.
Passo 2
Definição de invariância positiva: um conjunto
é dito positivamente invariante pelo fluxo de
se, sempre que
e
é a solução de
com condição inicial
, então
para todo
(enquanto a solução estiver definida).
Passo 3
Se
, então
. Como
é de classe
e
em
, ao longo da solução
vale
Isto significa que
é não crescente em
.
Passo 4
Pelo fato de
ser não crescente e
, segue imediatamente que, para todo
,
Logo
. Concluímos então que, sempre que
, a solução
permanece em
para todo
. Isso é exatamente a afirmação de que
é positivamente invariante pelo fluxo de
.
Resposta
Através da condição
em
, mostramos que qualquer solução iniciada em
satisfaz
para
, ou seja,
. Portanto,
é positivamente invariante.