Exercício 1 (D.L.6.1)
Seja V: W R uma função de Liapunov para o campo f: E R^n na singularidade x0 in E subset R^n. Mostre que, para qualquer alpha in R, a imagem inversa Calpha:=V^-1]-infty, alpha] cap E subset W cup E é positivamente invariante pelo fluxo do campo.

Passo 1

O enunciado trata de um campo de vetores fcolon EtoR^n com singularidade em x0 e de uma função de Liapunov Vcolon WtoR (onde Wsubset E) satisfazendo as condições usuais: Vin C^1, V(x0)=0, V(x)>0 para xneq x0 e
dot V(x);=;nabla V(x)cdot f(x);<=;0
em W. Define-se o subnível
Calpha ;:=; V^-1l]-infty,alphar];cap;E,
e o objetivo é mostrar que Calpha é positivamente invariante pelo fluxo de f. Vamos usar a propriedade de decrescimento de V ao longo das soluções para concluir a invariância.

Passo 2

Definição de invariância positiva: um conjunto Ssubset E é dito positivamente invariante pelo fluxo de f se, sempre que x(0)in S e x(t) é a solução de dot x=f(x) com condição inicial x(0), então x(t)in S para todo t>=0 (enquanto a solução estiver definida).

Passo 3

Se x(0)in Calpha, então Vl(x(0)r)<=alpha. Como V é de classe C^1 e dot V(x)<=0 em W, ao longo da solução x(t) vale
ddtVl(x(t)r) =nabla Vl(x(t)r)cdot fl(x(t)r) =dot Vl(x(t)r);<=;0
Isto significa que Vl(x(t)r) é não crescente em t.

Passo 4

Pelo fato de V(x(t)) ser não crescente e Vl(x(0)r)<=alpha, segue imediatamente que, para todo t>=0,
Vl(x(t)r);<=;Vl(x(0)r);<=;alpha
Logo x(t)in V^-1l]-infty,alphar]. Concluímos então que, sempre que x(0)in Calpha, a solução x(t) permanece em Calpha para todo t>=0. Isso é exatamente a afirmação de que Calpha é positivamente invariante pelo fluxo de f.

Resposta

Através da condição dot V<=0 em W, mostramos que qualquer solução iniciada em Calpha satisfaz V(x(t))<=alpha para t>=0, ou seja, x(t)in Calpha. Portanto, Calpha é positivamente invariante.

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