Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para inverter a ordem de integração e calcular o valor. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas, uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem e depois uma substituição para resolver a integral simples resultante.
Passo 2
Precisamos descrever a região de integração no plano
. As desigualdades são
A condição
equivale a
. Como
e
(quando
,
), concluímos que
Passo 3
Trocando a ordem de integração, integramos primeiro em
de
até
e depois em
de
até
. Assim,
Passo 4
Na integral interna em
o integrando é constante em relação a
. Logo,
Portanto
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim,