Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^8 integralraiz[3]x^2 d y d xy^4+1 d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I = integralx=0^8integraly=raiz[3]x^21y^4+1,dy,dx
e pede para inverter a ordem de integração e calcular o valor. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas, uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem e depois uma substituição para resolver a integral simples resultante.

Passo 2

Precisamos descrever a região de integração no plano (x,y). As desigualdades são
0<= x<= 8, raiz[3]x<= y<= 2
A condição raiz[3]x<= y equivale a x<= y^3. Como x>=0 e y<=2 (quando x=8, raiz[3]8=2), concluímos que
0<= x<= y^3, 0<= y<= 2

Passo 3

Trocando a ordem de integração, integramos primeiro em x de 0 até y^3 e depois em y de 0 até 2. Assim,
I = integraly=0^2integralx=0^y^31y^4+1,dx,dy

Passo 4

Na integral interna em x o integrando é constante em relação a x. Logo,
integralx=0^y^31y^4+1,dx =1y^4+1l[xr]0^y^3 =y^3y^4+1
Portanto
I = integral0^2y^3y^4+1,dy

Passo 5

Para calcular
integral0^2y^3y^4+1,dy
fazemos a substituição u=y^4+1, de modo que du=4y^3,dy ou y^3,dy=du4. Quando y=0, u=1; quando y=2, u=2^4+1=17. Assim,
integral0^2y^3y^4+1,dy =integralu=1^171u,du4 =14integral1^17duu =14l[ln ur]1^17 =14ln(17)

Resposta

boxed14ln(17)

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