Exercício 4 (D.L.5.4)
Mostre que toda singularidade assintoticamente estável é uma singularidade isolada.
Mostre que toda singularidade assintoticamente estável é uma singularidade isolada.
Passo 1
Vamos considerar um sistema autônomo
onde
é contínua, e seja
uma singularidade (isto é,
). O que queremos mostrar é que, se
é assintoticamente estável, então existe uma vizinhança de
que não contém nenhuma outra singularidade além de
. Em outras palavras,
é uma singularidade isolada.
Passo 2
Pela definição de assintoticamente estável, existem
e
tais que, para toda condição inicial
com
a solução
satisfaz
-
para todo (estabilidade de Lyapunov), e -
(atração).
Passo 3
Suponha, por contradição, que
não seja isolada. Então existe uma sequência de singularidades
, todas distintas de
, que converge para
:
Como
, para algum
suficientemente grande temos
.
Passo 4
Considere a solução do sistema com condição inicial
. Por ser singularidade, essa solução é constante:
Logo
. Mas isso contradiz a propriedade de atração de
, que exige
para toda condição inicial em
.
Passo 5
A contradição mostra que não pode haver outra singularidade dentro de
. Portanto existe uma vizinhança de
livre de quaisquer outras singularidades, isto é,
é isolada.
Resposta
Toda singularidade assintoticamente estável é uma singularidade isolada.