Exercício 4 (D.L.5.4)
Mostre que toda singularidade assintoticamente estável é uma singularidade isolada.

Passo 1

Vamos considerar um sistema autônomo
dot x = f(x),
onde fcolon UsubsetR^ntoR^n é contínua, e seja x0in U uma singularidade (isto é, f(x0)=0). O que queremos mostrar é que, se x0 é assintoticamente estável, então existe uma vizinhança de x0 que não contém nenhuma outra singularidade além de x0. Em outras palavras, x0 é uma singularidade isolada.

Passo 2

Pela definição de assintoticamente estável, existem de<a>0 e varepsilon>0 tais que, para toda condição inicial x(0) com
|x(0)-x0|<de<a,
a solução x(t) satisfaz
  1. |x(t)-x0|<varepsilon para todo t>=0 (estabilidade de Lyapunov), e
  2. limttoinftyx(t)=x0 (atração).

Passo 3

Suponha, por contradição, que x0 não seja isolada. Então existe uma sequência de singularidades xk, todas distintas de x0, que converge para x0:
xkneq x0, f(xk)=0, limktoinftyxk = x0
Como xkto x0, para algum k suficientemente grande temos |xk - x0|<de<a.

Passo 4

Considere a solução do sistema com condição inicial x(0)=xk. Por ser singularidade, essa solução é constante:
x(t)equiv xkpara todo t>=0
Logo limttoinftyx(t)=xkneq x0. Mas isso contradiz a propriedade de atração de x0, que exige limttoinftyx(t)=x0 para toda condição inicial em B(x0,de<a).

Passo 5

A contradição mostra que não pode haver outra singularidade dentro de B(x0,de<a). Portanto existe uma vizinhança de x0 livre de quaisquer outras singularidades, isto é, x0 é isolada.

Resposta

Toda singularidade assintoticamente estável é uma singularidade isolada.

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