Exercício 2 (D.L.2.2)
Seja
e denote por
o conjunto de todas as soluções
da equação
. Defina
por
e, usando a linearidade da equação e o teorema de existência e unicidade, mostre que
é uma transformação linear, sobrejetora e injetora, respectivamente, ou seja, um isomorfismo linear. Conclua que
.
Seja
Passo 1
O enunciado trata do espaço
de todas as soluções
da EDO linear
onde
. Definimos
Queremos mostrar que
é uma transformação linear bijetora usando a linearidade da EDO e o Teorema de Existência e Unicidade de solução para EDOs lineares. Daí concluir que
Passo 2
(Linearidade de
)
Sejam e
. Como a EDO é linear,
também satisfaz
Sejam
logo
. Então
o que prova que
é linear.
Passo 3
(Injetividade de
)
Suponha , ou seja,
. Pelo Teorema de Existência e Unicidade a valor inicial
, a única solução da EDO é
. Logo
é a solução trivial e
em
. Assim,
e
é injetora.
Suponha
Passo 4
(Sobrejetividade de
)
Dado qualquer vetor , o Teorema de Existência garante que existe solução única
de
Dado qualquer vetor
Essa solução é
. Em particular
. Portanto,
é sobrejetora.
Passo 5
(Conclusão sobre isomorfismo e dimensão)
Como é linear, injetora e sobrejetora,
é um isomorfismo de espaços vetoriais. Logo
Como