Exercício 2 (D.L.2.2)
Seja A in Mn(R) e denote por SA o conjunto de todas as soluções x: R R^n da equação x^prime=A x. Defina T: SA R por T(x)=x(0) e, usando a linearidade da equação e o teorema de existência e unicidade, mostre que T é uma transformação linear, sobrejetora e injetora, respectivamente, ou seja, um isomorfismo linear. Conclua que dim(SA)=n.

Passo 1

O enunciado trata do espaço SA de todas as soluções x:RtoR^n da EDO linear
x'=A,x,
onde Ain Mn(R). Definimos
T:SAtoR^n, T(x)=x(0)
Queremos mostrar que T é uma transformação linear bijetora usando a linearidade da EDO e o Teorema de Existência e Unicidade de solução para EDOs lineares. Daí concluir que
dim(SA)=n

Passo 2

(Linearidade de T)
Sejam x,yinSA e alphainR. Como a EDO é linear, alpha x + y também satisfaz
(alpha x + y)' = alpha x' + y' = alpha A x + A y = A(alpha x + y),
logo alpha x + yinSA. Então
T(alpha x + y) = (alpha x + y)(0) = alpha,x(0) + y(0) = alpha,T(x) + T(y),
o que prova que T é linear.

Passo 3

(Injetividade de T)
Suponha T(x)=0, ou seja, x(0)=0. Pelo Teorema de Existência e Unicidade a valor inicial x(0)=0, a única solução da EDO é x(t)equiv0. Logo x é a solução trivial e x=0 em SA. Assim, ker T=0 e T é injetora.

Passo 4

(Sobrejetividade de T)
Dado qualquer vetor vinR^n, o Teorema de Existência garante que existe solução única xv(t) de
x'=A,x, x(0)=v
Essa solução é xv(t)=e^tAv. Em particular T(xv)=xv(0)=v. Portanto, T é sobrejetora.

Passo 5

(Conclusão sobre isomorfismo e dimensão)
Como T:SAtoR^n é linear, injetora e sobrejetora, T é um isomorfismo de espaços vetoriais. Logo
diml(SAr)=dim(R^n)=n

Resposta

dim(SA)=n.

Exercícios relacionados