Exercício 3 (D.L.2.5)
Sejam
uma base de
e
as soluções de
tais que
, com
. Mostre que
são linearmente independentes no espaço vetorial das funções e que toda solução de
é combinação linear de
.
Sejam
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear homogêneo de EDO
e introduz as soluções
definidas por
onde
é uma base de
. Queremos usar o Teorema de Existência e Unicidade para mostrar que
é um conjunto linearmente independente no espaço vetorial das soluções e que gera todo esse espaço.
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear nula
Essa combinação também é solução de
. Em particular, no instante
temos
Como
é base de
, segue que
. Logo,
é linearmente independente.
Passo 3
Seja
qualquer solução de
. O Teorema de Existência e Unicidade garante que
é determinado unicamente pela condição inicial
. Escreva
Considere então
Claramente
satisfaz
e
Pela unicidade de solução com dado valor inicial,
para todo
. Assim
é combinação linear de
.
Resposta
As funções
são linearmente independentes e formam uma base do espaço de todas as soluções de
. Em particular, toda solução é combinação linear de
.