Exercício 3 (D.L.2.5)
Sejam A in Mn(R), v1, v2, ldots, vn uma base de R^n e x1, x2, ldots, xn: R R^n as soluções de x^prime=A x tais que xi(0)=vi, com 1 <= i <= n. Mostre que x1, x2, ldots, xn são linearmente independentes no espaço vetorial das funções e que toda solução de x^prime=A x é combinação linear de x1, x2, ldots, xn.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear homogêneo de EDO
x' = A x, Ain Mn(R),
e introduz as soluções xi:RtoR^n definidas por
xi(0)=vi, i=1,dots,n,
onde v1,dots,vn é uma base de R^n. Queremos usar o Teorema de Existência e Unicidade para mostrar que x1,dots,xn é um conjunto linearmente independente no espaço vetorial das soluções e que gera todo esse espaço.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula
c1,x1(t)+c2,x2(t)+cdots+cn,xn(t)=0forall,tinR
Essa combinação também é solução de x'=Ax. Em particular, no instante t=0 temos
c1,x1(0)+cdots+cn,xn(0) = c1,v1+cdots+cn,vn=0
Como v1,dots,vn é base de R^n, segue que c1=cdots=cn=0. Logo, x1,dots,xn é linearmente independente.

Passo 3

Seja x(t) qualquer solução de x'=Ax. O Teorema de Existência e Unicidade garante que x é determinado unicamente pela condição inicial x(0)inR^n. Escreva
x(0)=beta1,v1+cdots+betan,vn
Considere então
y(t)=beta1,x1(t)+cdots+betan,xn(t)
Claramente y satisfaz y'=Ay e
y(0)=beta1,v1+cdots+betan,vn=x(0)
Pela unicidade de solução com dado valor inicial, y(t)=x(t) para todo t. Assim x é combinação linear de x1,dots,xn.

Resposta

As funções x1,dots,xn são linearmente independentes e formam uma base do espaço de todas as soluções de x'=Ax. Em particular, toda solução é combinação linear de x1,dots,xn.

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