Exercício 5. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e uma solução conhecida
. O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes variáveis, usando o método de redução de ordem (método de D’Alembert), para obter uma segunda solução linearmente independente e, a partir daí, escrever a solução geral.
Passo 2
Colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo por
obtemos
ou seja
Passo 3
No método de redução de ordem usamos a função
Calculamos
logo
Passo 4
A fórmula para a segunda solução é
Passo 5
Fazemos frações parciais em
Integramos termo a termo:
Assim
Passo 6
Substituindo em
e desprezando a constante de integração (ela apenas gera combinação com
), obtemos
Verifica-se que
é linearmente independente de
.
Passo 7
A solução geral da EDO é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A segunda solução é
e a solução geral da EDO é