Exercício 5. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 , y1(x)=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 2y = 0
e uma solução conhecida y1(x)=x. O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes variáveis, usando o método de redução de ordem (método de D’Alembert), para obter uma segunda solução linearmente independente e, a partir daí, escrever a solução geral.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
Dividindo por 1 - x^2 obtemos
y'' - 2x1 - x^2,y' + 21 - x^2,y = 0,
ou seja
P(x) = -2x1 - x^2, Q(x) = 21 - x^2

Passo 3

No método de redução de ordem usamos a função
mu(x) = expl(-!integral P(x),dxr)
Calculamos
integral P(x),dx = integral -2x1 - x^2,dx = lnl(1 - x^2r),
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mu(x) = expl(-ln(1 - x^2)r) = 11 - x^2

Passo 4

A fórmula para a segunda solução é
y2(x) = y1(x),integral mu(x)y1(x)^2,dx = x integral 11 - x^2;1x^2,dx = x integral 1x^2(1 - x^2),dx

Passo 5

Fazemos frações parciais em
1x^2(1 - x^2) = 1x^2 + 1/21 - x + 1/21 + x
Integramos termo a termo:
integral 1x^2,dx = -1x, integral 11 - x,dx = -lnlvert 1 - xrvert, integral 11 + x,dx = lnlvert 1 + xrvert
Assim
integral 1x^2(1 - x^2),dx = -1x - 12lnlvert 1 - xrvert + 12lnlvert 1 + xrvert + C

Passo 6

Substituindo em y2(x) e desprezando a constante de integração (ela apenas gera combinação com y1), obtemos
y2(x) = xl(-tfrac1x + tfrac12ln1 + x1 - xr) = -1 + x2ln1 + x1 - x
Verifica-se que y2 é linearmente independente de y1.

Passo 7

A solução geral da EDO é
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) = C1,x + C2l(x2ln1 + x1 - x - 1r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A segunda solução é
y2(x) = x2ln1 + x1 - x - 1
e a solução geral da EDO é
y(x) = C1,x + C2l(x2ln1 + x1 - x - 1r)

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