Se as funções f e g forem seccionalmente contínuas em [0,+infty), definimoos a convolução de f e g, denotada por f * g pela integral
(f * g)(t)=integral0^t f(u) g(t-u) d u
Dadas as funções f(t)=e^t e g(t)=sin t, obtenha (f * g)(t).

Passo 1

O enunciado define a convolução de f e g em [0,+infty) por
(f * g)(t)=integral0^tf(u),g(t-u),du
e pede (f * g)(t) para f(t)=e^t e g(t)=sin t. Vamos então calcular
(f * g)(t)=integral0^te^u,sin(t-u),du
usando mudança de variável e antiderivadas de e^avsin(bv).

Passo 2

Fazendo v=t-u temos du=-dv, e os limites trocam: u=0Rightarrow v=t, u=tRightarrow v=0. Assim
(f * g)(t) =integralu=0^u=te^u,sin(t-u),du =integralv=t^v=0e^t-v,sin v,(-dv) =integral0^te^t-v,sin v,dv =e^tintegral0^te^-vsin v,dv

Passo 3

Definimos
I(t)=integral0^te^-vsin v,dv
Para achar I(t) usamos a fórmula geral
integral e^avsin(bv),dv =e^ava^2+b^2l(asin(bv)-bcos(bv)r)+C
Aqui a=-1 e b=1, então
integral e^-vsin v,dv =e^-v(-1)^2+1^2l(-1cdotsin v-1cdotcos vr) =-e^-v(sin v+cos v)2+C

Passo 4

Avaliamo-s I(t) de 0 a t:
I(t) =[-e^-v(sin v+cos v)2]0^t =-e^-t(sin t+cos t)2 +12
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(f * g)(t) =e^t,I(t) =e^tl(12-e^-t(sin t+cos t)2r) =e^t2-sin t+cos t2

Resposta

(f * g)(t)=e^t-sin t-cos t2

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