Mostre que se F(s)=Lf(t) existe para s>a >= 0 e c é uma constante positiva, então Luc(t) f(t-c)=e^-c s F(s), desde que s>a.

Passo 1

O enunciado nos dá que
existe
para (s>a]. O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento no domínio do tempo na transformada de Laplace.

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace,
Lluc(t),f(t-c)r = integral0^infty e^-s t,uc(t),f(t-c),dt
Como uc(t)=0 para t<c e uc(t)=1 para t>= c, o intervalo efetivo de integração passa a ser de t=c até t=infty. Logo,
Lluc(t),f(t-c)r = integralc^infty e^-s t,f(t-c),dt

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variável
tau = t - c, t = tau + c, dt = dtau
Quando t=c temos tau=0, e quando ttoinfty temos tautoinfty. Assim
integralc^infty e^-s t,f(t-c),dt = integral0^infty e^-s(tau + c),f(tau),dtau = e^-c s,integral0^infty e^-s tau,f(tau),dtau
Pela definição de F(s), essa última integral é exatamente F(s). Portanto
Lluc(t),f(t-c)r = e^-c s,F(s)

Passo 4

Como assumimos que F(s) converge para s>a, e o fator e^-c s não altera a região de convergência, concluímos que a identidade vale para todo s>a.

Resposta

Lluc(t),f(t-c)r = e^-c s,F(s), s>a

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