Mostre que se
existe para
e
é uma constante positiva, então
, desde que
.
Passo 1
O enunciado nos dá que
existe
para (s>a]. O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento no domínio do tempo na transformada de Laplace.
Passo 2
Pela definição da transformada de Laplace,
Como
para
e
para
, o intervalo efetivo de integração passa a ser de
até
. Logo,
Passo 3
Agora fazemos a mudança de variável
Quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Pela definição de
, essa última integral é exatamente
. Portanto
Passo 4
Como assumimos que
converge para
, e o fator
não altera a região de convergência, concluímos que a identidade vale para todo
.