Exercício 3. Dada a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{cll}\frac{3 x^{2}-5 x-2}{x-2} & \text { se } & x<2, \\\\ 3-a x-x^{2} & \text { se } & x \geq 2,\end{array}\right. determine a \in \mathbb{R} para que exista \lim _{x \rightarrow 2} f(x) . \quad a=-4
Isso porque a função tem expressão diferente à esquerda e à direita de 2. Portanto vamos calcular cada limite lateral separadamente e igualá-los para encontrar a.
Passo 3
Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x). Para x<2 a expressão é
\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}.
Primeiro verifico se o numerador zera em x=2:
3(2)^{2}-5(2)-2=3\cdot4-10-2=12-12=0.
Como o numerador é 0 em x=2, isso indica que (x-2) é um fator do polinômio 3x^{2}-5x-2. Podemos fatorar o numerador. Observando, a fatoração é
Observação didática curta: a razão pela qual foi possível “cancelar” (x-2) é que estamos calculando um limite — não precisamos que a expressão esteja definida em x=2, apenas que tenha um comportamento próximo de 2. Depois da simplificação, obtém-se uma expressão polinomial contínua que facilita a avaliação do limite.
Passo 4
Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x). Para x\ge2 a expressão é o polinômio
3-ax-x^{2}.
Polinômios são funções contínuas, portanto o limite lateral pela direita é simplesmente o valor da expressão em x=2. Assim,