Exercício 3. Dada a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{cll}\frac{3 x^{2}-5 x-2}{x-2} & \text { se } & x<2, \\\\ 3-a x-x^{2} & \text { se } & x \geq 2,\end{array}\right. determine a \in \mathbb{R} para que exista \lim _{x \rightarrow 2} f(x) . \quad a=-4

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \dfrac{3x^{2}-5x-2}{x-2}, & \text{se } x<2,\\[6pt] 3-ax-x^{2}, & \text{se } x\ge 2, \end{cases}
e pede: determinar a\in\mathbb{R} para que exista \displaystyle\lim_{x\to 2} f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por duas expressões diferentes dependendo se x<2 ou x\ge2.
  • O ponto em que o limite deve ser verificado é x=2.
  • Para que \lim_{x\to2} f(x) exista, os limites laterais devem existir e ser iguais:
    • \displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x) (pela esquerda),
    • \displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x) (pela direita).]

Passo 2

Explicação do critério que vamos usar (de forma simples): para que exista \displaystyle\lim_{x\to2} f(x) é necessário e suficiente que
\displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x).
Isso porque a função tem expressão diferente à esquerda e à direita de 2. Portanto vamos calcular cada limite lateral separadamente e igualá-los para encontrar a.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x). Para x<2 a expressão é
\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}.
Primeiro verifico se o numerador zera em x=2:
3(2)^{2}-5(2)-2=3\cdot4-10-2=12-12=0.
Como o numerador é 0 em x=2, isso indica que (x-2) é um fator do polinômio 3x^{2}-5x-2. Podemos fatorar o numerador. Observando, a fatoração é
3x^{2}-5x-2=(3x+1)(x-2).
(Verificação: (3x+1)(x-2)=3x^{2}-6x+x-2=3x^{2}-5x-2.)
Assim, para x\neq2 temos
\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}=\frac{(3x+1)(x-2)}{x-2}=3x+1.
Portanto, ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda (valores x<2 mas próximos de 2), a expressão se comporta como 3x+1. Logo
\displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to2^-} (3x+1)=3\cdot 2+1=7.
Observação didática curta: a razão pela qual foi possível “cancelar” (x-2) é que estamos calculando um limite — não precisamos que a expressão esteja definida em x=2, apenas que tenha um comportamento próximo de 2. Depois da simplificação, obtém-se uma expressão polinomial contínua que facilita a avaliação do limite.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x). Para x\ge2 a expressão é o polinômio
3-ax-x^{2}.
Polinômios são funções contínuas, portanto o limite lateral pela direita é simplesmente o valor da expressão em x=2. Assim,
\displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x)=3-a\cdot 2-(2)^{2}=3-2a-4=-1-2a.

Passo 5

Impondo que os limites lateral esquerdo e direito coincidam (condição para existência do limite em x=2):
7=\;-1-2a.
Agora resolvo essa equação para a. Somando 1 em ambos os lados:
7+1= -2a \quad\Rightarrow\quad 8=-2a.
Dividindo ambos os lados por -2:
a=\frac{8}{-2}=-4.

Passo 6

Verificação final rápida substituindo a=-4:
  • Limite à esquerda: 7 (já calculado).
  • Limite à direita com a=-4: -1-2(-4)=-1+8=7.
    Os dois limites coincidem em 7, logo \displaystyle\lim_{x\to2} f(x) existe e vale 7 quando a=-4.

Resposta

a=-4

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