A catenária é a curva que descreve a forma de uma corda homogênea, perfeitamente flexível, suspensa entre dois pontos e sujeita apenas à gravidade. Essa curva aparece em diversas aplicações, como cabos de energia, correntes e estruturas de engenharia. Matematicamente, a catenária pode ser descrita por
y=a \operatorname{cosh} \left(\frac{x}{a}\right)
onde a>0 é uma constante relacionada às propriedades físicas do sistema. Calcule o comprimento \ell da catenária de x=-L até x=L, onde L>0.
Passo 1
O enunciado nos dá a catenária
y = a \operatorname{cosh}\!\left(\frac{x}{a}\right),
com \,a>0, e pede o comprimento \ell da curva entre x=-L e x=L, onde \,L>0.
Informações relevantes:
A função que descreve a curva é y(x)=a\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right).
O intervalo de integração é [ -L,\,L].
Quer-se o comprimento de arco \ell da curva nesse intervalo.
Passo 2
Recordando a fórmula do comprimento de arco de uma curva y=y(x) de x=x_1 até x=x_2:
Uso a identidade hiperbólica fundamental (que se obtém das definições \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}):
\operatorname{cosh}^2 t - \operatorname{sinh}^2 t = 1.
Dessa identidade segue que
1+\operatorname{sinh}^2 t = \operatorname{cosh}^2 t.
Para integrar \operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right), uso substituição direta ou a regra da cadeia: se u=\dfrac{x}{a} então du=\dfrac{1}{a}\,dx e dx=a\,du. Como \dfrac{d}{du}\operatorname{sinh} u=\operatorname{cosh} u, segue que
\int \operatorname{cosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)\,dx = a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
Sempre comece pela fórmula de comprimento de arco \ell=\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx.
Calcule y' com cuidado (a regra da cadeia é essencial).
Reconheça a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2-\operatorname{sinh}^2=1 para simplificar a raiz.
Integre \operatorname{cosh} usando a primitiva \operatorname{sinh} e avalie os limites.
Um pequeno exemplo numérico: se \dfrac{L}{a} é pequeno, \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{L}{a}\right)\approx \dfrac{L}{a}, então \ell\approx 2L (ou seja, a corda quase reta). Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e pratica esse padrão de passos.