A catenária é a curva que descreve a forma de uma corda homogênea, perfeitamente flexível, suspensa entre dois pontos e sujeita apenas à gravidade. Essa curva aparece em diversas aplicações, como cabos de energia, correntes e estruturas de engenharia. Matematicamente, a catenária pode ser descrita por
y=a \operatorname{cosh} \left(\frac{x}{a}\right)
onde a>0 é uma constante relacionada às propriedades físicas do sistema. Calcule o comprimento \ell da catenária de x=-L até x=L, onde L>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a catenária
y = a \operatorname{cosh}\!\left(\frac{x}{a}\right),
com \,a>0, e pede o comprimento \ell da curva entre x=-L e x=L, onde \,L>0.
Informações relevantes:
  • A função que descreve a curva é y(x)=a\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right).
  • O intervalo de integração é [ -L,\,L].
  • Quer-se o comprimento de arco \ell da curva nesse intervalo.

Passo 2

Recordando a fórmula do comprimento de arco de uma curva y=y(x) de x=x_1 até x=x_2:
\ell=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.
Aqui x_1=-L e x_2=L. Vou calcular primeiro a derivada \dfrac{dy}{dx}.
A função é y(x)=a\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right). Usando a regra da cadeia para derivar:
  • Derivada de \operatorname{cosh}(u) em relação a u é \operatorname{sinh}(u).
  • Derivada de u=\dfrac{x}{a} em relação a x é \dfrac{1}{a}.
Portanto,
\frac{dy}{dx}=a\cdot \operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{a}\right)\cdot\frac{1}{a}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{a}\right).

Passo 3

Agora substituo \dfrac{dy}{dx} na fórmula do comprimento de arco:
1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \operatorname{sinh}^2\!\left(\frac{x}{a}\right).
Uso a identidade hiperbólica fundamental (que se obtém das definições \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}):
\operatorname{cosh}^2 t - \operatorname{sinh}^2 t = 1.
Dessa identidade segue que
1+\operatorname{sinh}^2 t = \operatorname{cosh}^2 t.
Aplicando com t=\dfrac{x}{a},
1+\operatorname{sinh}^2\!\left(\frac{x}{a}\right)=\operatorname{cosh}^2\!\left(\frac{x}{a}\right).
Como \operatorname{cosh} é sempre não negativa ( \operatorname{cosh} u\ge 1 para todo u), temos
\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}=\sqrt{\operatorname{cosh}^2\!\left(\frac{x}{a}\right)}=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{x}{a}\right).

Passo 4

Assim o comprimento de arco fica
\ell=\int_{-L}^{L}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)\,dx.
Para integrar \operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right), uso substituição direta ou a regra da cadeia: se u=\dfrac{x}{a} então du=\dfrac{1}{a}\,dx e dx=a\,du. Como \dfrac{d}{du}\operatorname{sinh} u=\operatorname{cosh} u, segue que
\int \operatorname{cosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)\,dx = a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.

Passo 5

Avalio a primitiva nos limites x=-L e x=L:
\ell = \left. a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{a}\right)\right|_{-L}^{L} = a\left[\operatorname{sinh}\!\left(\frac{L}{a}\right)-\operatorname{sinh}\!\left(-\frac{L}{a}\right)\right].
Como \operatorname{sinh} é função ímpar ( \operatorname{sinh}(-t)=-\operatorname{sinh}(t)), isso dá
\ell = a\left[\operatorname{sinh}\!\left(\frac{L}{a}\right)+\operatorname{sinh}\!\left(\frac{L}{a}\right)\right] =2a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{L}{a}\right).

Passo 6

Resumo didático e dica para prova:
  • Sempre comece pela fórmula de comprimento de arco \ell=\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx.
  • Calcule y' com cuidado (a regra da cadeia é essencial).
  • Reconheça a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2-\operatorname{sinh}^2=1 para simplificar a raiz.
  • Integre \operatorname{cosh} usando a primitiva \operatorname{sinh} e avalie os limites.
    Um pequeno exemplo numérico: se \dfrac{L}{a} é pequeno, \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{L}{a}\right)\approx \dfrac{L}{a}, então \ell\approx 2L (ou seja, a corda quase reta). Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e pratica esse padrão de passos.

Resposta

\ell = 2a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{L}{a}\right)

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