Exercício 3. Dada gamma:[0,2 pi] C com
gamma(t)=w+R e^i t
calcule l(gamma).

Passo 1

O enunciado apresenta a curva parametrizada gamma:[0,2pi]toC dada por
gamma(t)=w+R e^i t,
que é um círculo de centro w e raio R. Queremos calcular o comprimento da curva, denotado por l(gamma). Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de uma curva parametrizada:
l(gamma)=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de gamma(t). Como w é constante em t e ddte^i t=i,e^i t, temos
gamma'(t)=ddtl(w+R e^i tr)=iR,e^i t
O módulo dessa derivada é
l|gamma'(t)r|=l|iR,e^i tr|=Rcdotl|e^i tr|=R

Passo 3

Substituindo em l(gamma), obtemos
l(gamma)=integral0^2piR,dt =Rintegral0^2pidt =Rl[,tr]0^2pi =2pi R

Resposta

l(gamma)=2pi R.

Exercícios relacionados