Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC[(y-x) d x+(x-z) d y+(x-y) d z], onde stackrelCC é o retângulo de vértices (0,0,5),(0,2,5),(-1,0,5) e ( -1,2,5 ), no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC l[(y-x),dx + (x-z),dy + (x-y),dzr]
ao redor de um retângulo no plano z=5, orientado no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que converte essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional de F.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = (P,Q,R)
com
P = y - x, Q = x - z, R = x - y
A fórmula do rotacional é
nabla times F = l(Ry - Qz,;Pz - Rx,;Qx - Pyr)

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
- Ry = partialy(x-y) = -1 - Qz = partialz(x-z) = -1
Logo, primeira componente: (-1)-(-1)=0.
- Pz = partialz(y-x)=0 - Rx = partialx(x-y)=1
Logo, segunda componente: 0-1=-1.
- Qx = partialx(x-z)=1 - Py = partialy(y-x)=1
Logo, terceira componente: 1-1=0.
Portanto
nabla times F = (0,,-1,,0)

Passo 4

O retângulo está no plano z=5. O versor normal para cima é k, que induziria curva orientada no sentido anti-horário. Como C está orientado no sentido horário visto de cima, escolhemos
n = -, k.
Pelo Teorema de Stokes:
ointC Fcdot d r = integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS = integral duplaS (0,-1,0)cdot(- k),dS = 0

Resposta

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