Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é o retângulo de vértices
e (
), no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
ao redor de um retângulo no plano , orientado no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que converte essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional de
.
ao redor de um retângulo no plano
Passo 2
Definimos o campo vetorial
com
com
A fórmula do rotacional é
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Logo, primeira componente: .
Logo, segunda componente: .
Logo, terceira componente: .
Portanto
Logo, primeira componente:
Logo, segunda componente:
Logo, terceira componente:
Portanto
Passo 4
O retângulo está no plano
. O versor normal para cima é
, que induziria curva orientada no sentido anti-horário. Como
está orientado no sentido horário visto de cima, escolhemos
.
Pelo Teorema de Stokes:
Pelo Teorema de Stokes: