Achar a distância entre r1:lly & =x+1 z & =2 x-1 e r2: x=y=z. R: raiz22 u.c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a distância entre duas retas no espaço tridimensional, chamadas de r1 e r2 . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, como vetores diretores e o cálculo de distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar as duas retas para facilitar nossos cálculos.
A reta [r_1) é definida por:
Podemos usar , então:
A reta é definida por:
Usando um parâmetro , temos:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta.
Para r1(t) , o vetor diretor é v1 = (1, 1, 2) .
Para r2(s) , o vetor diretor é v2 = (1, 1, 1) .

Passo 4

A distância entre duas retas no espaço pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
d = |(r2 - r1) cdot (v1 times v2)||v1 times v2|
Aqui, times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar.

Passo 5

Vamos escolher um ponto em cada reta para calcular r2 - r1 . Vamos escolher t = 0 para r1 :
r1(0) = (0, 1, -1)
E s = 0 para r2 :
r2(0) = (0, 0, 0)
Então:
r2 - r1 = (0 - 0, 0 - 1, 0 - (-1)) = (0, -1, 1)

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2 :
v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 = (1 cdot 1 - 2 cdot 1)i - (1 cdot 1 - 2 cdot 1)j + (1 cdot 1 - 1 cdot 1)k = (-1, 1, 0)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar (r2 - r1) cdot (v1 times v2) :
(0, -1, 1) cdot (-1, 1, 0) = 0 cdot (-1) + (-1) cdot 1 + 1 cdot 0 = -1
Tomando o valor absoluto:
| -1 | = 1

Passo 8

Vamos calcular a magnitude do produto vetorial |v1 times v2| :
|v1 times v2| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Resposta

Portanto, a distância entre as retas r1 e r2 é:
d = 1raiz2 = raiz22 unidades de comprimento

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