Exercício 7) Dado o conjunto Σ descreva-o nas formas analítica completa e geométrica. Σ:\left\{\begin{array}{l}\rho_{1}(x, y, z)=z-x^{2}-y^{2}=0 \\\ \rho_{2}(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-4 \leq 0\end{array} \quad\right..
Passo 1
O enunciado dá o conjunto Σ definido por duas condições sobre (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:
\rho_{1}(x,y,z)=z-x^{2}-y^{2}=0.
\rho_{2}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-4\leq 0.
O que o exercício pede:
Descrever Σ na forma analítica completa (uma descrição precisa do conjunto, por exemplo por meio de equações/parametrização).
Descrever Σ geometricamente (o que é esse conjunto em termos de superfícies/solos, formas usuais em \mathbb{R}^3).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (já anotadas acima):
A primeira condição fixa z em função de x e y: z=x^{2}+y^{2}.
A segunda condição restringe (x,y) à região onde x^{2}+y^{2}\leq 4 (um disco de raio 2 no plano xy).
Passo 2
Interpretando a primeira equação: \rho_{1}(x,y,z)=0 é
Explicação didática: isso significa que os pontos do conjunto obedecem à equação de um paraboloide circular que abre para cima. Uma maneira de pensar é: para cada ponto (x,y) no plano, o valor de z é dado pelo número x^{2}+y^{2}. Logo a superfície é o gráfico da função f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Passo 3
Interpretando a segunda condição: \rho_{2}(x,y,z)\leq 0 é
Explicação didática: isto é a condição que restringe a projeção do ponto (x,y,z) no plano xy a estar dentro (ou sobre) o disco centrado na origem de raio 2. Em outras palavras, apenas os pontos do paraboloide cuja projeção no plano xy cai dentro desse disco são permitidos.
Passo 4
Juntando as duas condições qualitativamente: o conjunto Σ é justamente a interseção do paraboloide \{z=x^{2}+y^{2}\} com o cilindro vertical que cobre o disco de raio 2, isto é o cilindro \{(x,y,z):x^{2}+y^{2}\leq 4\}.
Explicação geométrica passo a passo:
O paraboloide sozinho é uma superfície infinita que sobe conforme x^{2}+y^{2} aumenta.
O cilindro vertical \{x^{2}+y^{2}\leq 4\} corta essa superfície mantendo apenas a parte do paraboloide sobre o disco de raio 2.
Portanto o resultado é uma “tampa” ou “tampa de paraboloide”: a porção do paraboloide sobre o disco x^{2}+y^{2}\leq 4.
Passo 5
Vamos dar a descrição analítica completa em duas formas úteis: por conjunto e por parametrização. Antes, explico a parametrização em coordenadas polares, que é a forma natural aqui.
Coordenadas polares no plano xy:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geq 0 é a distância ao eixo z (ou ao ponto (0,0) no plano) e \theta é o ângulo polar. Explicação: em muitos problemas com simetria circular (como x^{2}+y^{2}) a troca para (r,\theta) simplifica a descrição do domínio: x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Passo 6
Aplicando a parametrização ao nosso caso: como z=x^{2}+y^{2}=r^{2}\) e a restrição é \(x^{2}+y^{2}\leq 4\), obtemos
\[0\leq r^{2}\leq 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\leq r\leq 2,
e \theta varia em um intervalo completo de 2\pi, por exemplo 0\leq\theta<2\pi.
Explicação didática: cada valor de (r,\theta)\] dá um ponto do paraboloide diretamente acima do ponto \((r\cos\theta,r\sin\theta) no plano xy; variar r de 0 a 2 percorre do vértice do paraboloide (r=0, z=0) até a borda onde r=2 e z=4.]
Passo 7
Descrevendo a bordo e propriedades:
A borda do conjunto (frontiera) ocorre quando x^{2}+y^{2}=4 (ou seja r=2); nesses pontos z=4. Logo a borda é a circunferência
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}=4,\;z=4\},
que é um círculo de raio 2 no plano horizontal z=4.
O conjunto é compacto (fechado e limitado): r está em [0,2] e z=r^{2}\in[0,4].
Topologicamente, Σ é uma superfície de dimensão 2 com bordo (o bordo é o círculo acima).
Passo 8
Resumo das formas pedidas (isto prepara a resposta final):
Forma analítica completa: pode ser dada por equações (conjunto) ou por parametrização em coordenadas polares (expliquei a parametrização acima).
Forma geométrica: “porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} sobre o disco de raio 2 no plano xy” — isto é, um “cap” (tampa) do paraboloide com borda circular onde z=4.
Geometricamente: Porção (tampa) do paraboloide circular z=x^{2}+y^{2} sobre o disco de raio 2 no plano xy; é uma superfície com bordo, cuja borda é o círculo x^{2}+y^{2}=4,\;z=4.