Exercício 5. Dados
e
e considerando
como universo de discurso, determine os conjuntos abaixo
Passo 1
O enunciado pede para determinar
(diferença simétrica entre
e
).
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
o universo de discurso é
(todos os inteiros).
Passo 2
Definição útil (não resolve ainda, só define): a diferença simétrica entre dois conjuntos
e
é
ou, equivalentemente,
Interpretando: um elemento está em
se e somente se ele pertence a exatamente um dos conjuntos
ou
, mas não aos dois ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos verificar quais elementos de
pertencem a
. Lembre que
é a união das duas partes:
ou
. Como estamos em
, a condição
equivale a
.
- Para
: é falso e é falso, logo . - Para
: é falso e é falso, logo . - Para
: é verdadeiro, logo .
Passo 4
Com os testes do passo anterior podemos encontrar:
e
Expliquei:
está em ambos,
e
estão só em
.
Passo 5
Agora descrevemos
. Primeiro escrevemos
de forma explícita para inteiros:
Removendo o elemento comum
(porque
), obtemos
Observe que a parte
perde o
, ficando
.
Passo 6
Agora aplicamos a definição da diferença simétrica:
Substituindo os conjuntos que já temos:
Interpretação prática: pertencem à diferença simétrica todos os inteiros
, os inteiros
, e também
e
. Alguns exemplos rápidos para checar a intuição:
não entra (não está nem em
nem em
);
não entra;
não entra porque está em ambos.
Passo 7
Podemos reorganizar a união para escrever o resultado de forma limpa: