Exercício 5. Dados A=\{-2,-1,1\} e B=\{x \in \mathbb{Z}: x \leq-4 \vee x>0\} e considerando \mathbb{Z} como universo de discurso, determine os conjuntos abaixo
A \Delta B

Passo 1

O enunciado pede para determinar A \Delta B (diferença simétrica entre A e B).
Dados fornecidos:
A=\{-2,-1,1\}
B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4 \vee x>0\}
o universo de discurso é \mathbb{Z} (todos os inteiros).

Passo 2

Definição útil (não resolve ainda, só define): a diferença simétrica entre dois conjuntos X e Y é
X\Delta Y=(X\setminus Y)\cup(Y\setminus X),
ou, equivalentemente,
X\Delta Y=(X\cup Y)\setminus(X\cap Y).
Interpretando: um elemento está em X\Delta Y se e somente se ele pertence a exatamente um dos conjuntos X ou Y, mas não aos dois ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos verificar quais elementos de A pertencem a B. Lembre que B é a união das duas partes: x\le -4 ou x>0. Como estamos em \mathbb{Z}, a condição x>0 equivale a x\ge 1.
  • Para x=-2: -2\le -4 é falso e -2>0 é falso, logo -2\notin B.
  • Para x=-1: -1\le -4 é falso e -1>0 é falso, logo -1\notin B.
  • Para x=1: 1>0 é verdadeiro, logo 1\in B.

Passo 4

Com os testes do passo anterior podemos encontrar:
A\cap B=\{1\}
e
A\setminus B=\{-2,-1\}.
Expliquei: 1 está em ambos, -2 e -1 estão só em A.

Passo 5

Agora descrevemos B\setminus A. Primeiro escrevemos B de forma explícita para inteiros:
B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4\}\cup\{x\in\mathbb{Z}: x\ge 1\}.
Removendo o elemento comum 1 (porque 1\in A), obtemos
B\setminus A=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4\}\cup\{x\in\mathbb{Z}: x\ge 2\}.
Observe que a parte x\ge 1 perde o 1, ficando x\ge 2.

Passo 6

Agora aplicamos a definição da diferença simétrica:
A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Substituindo os conjuntos que já temos:
A\Delta B=\{-2,-1\}\;\cup\;\big(\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4\}\cup\{x\in\mathbb{Z}: x\ge 2\}\big).
Interpretação prática: pertencem à diferença simétrica todos os inteiros \le -4, os inteiros \ge 2, e também -2 e -1. Alguns exemplos rápidos para checar a intuição: -3 não entra (não está nem em A nem em B); 0 não entra; 1 não entra porque está em ambos.

Passo 7

Podemos reorganizar a união para escrever o resultado de forma limpa:
A\Delta B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4\}\cup\{-2,-1\}\cup\{x\in\mathbb{Z}: x\ge 2\}.

Resposta

A\Delta B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4\}\cup\{-2,-1\}\cup\{x\in\mathbb{Z}: x\ge 2\}

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