Exercício 5. Dados A=\{-2,-1,1\} e B=\{x \in \mathbb{Z}: x \leq-4 \vee x>0\} e considerando \mathbb{Z} como universo de discurso, determine os conjuntos abaixo
A \backslash B

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{-2,-1,1\}
e
B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4 \vee x>0\},
considerando \mathbb{Z} como universo. A pergunta única é: determinar o conjunto A\setminus B.

Passo 2

Definição importante (fórmula e explicação):
A\setminus B=\{x\in\mathbb{Z}: x\in A \wedge x\notin B\}.
Isto significa: pego todos os elementos que estão em A e retiro os que também pertencem a B. Em linguagem mais simples: "os elementos que ficam em A depois de eliminar os que estão em B".

Passo 3

Interpretação da descrição de B:
B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4 \vee x>0\}.
Aqui \vee significa “ou”. Logo B é o conjunto de inteiros que são menores ou iguais a -4 ou então maiores que 0. Exemplificando:
\ldots,-6,-5,-4,1,2,3,\ldots
Observe que 0 não pertence a B, porque nem 0\le -4 nem 0>0 é verdade.

Passo 4

Vamos checar elemento a elemento de A. Reescrevendo:
A=\{-2,-1,1\}.
Aplicaremos a definição de A\setminus B: cada elemento de A entra em A\setminus B se e somente se não estiver em B.

Passo 5

Teste para x=-2: verificar se -2\in B. Avaliamos as duas condições definidoras de B:
-2\le -4\\ ? \quad\text{(falso)}
-2>0\\ ? \quad\text{(falso)}
Como nenhuma das condições é verdadeira, concluímos que
-2\notin B.
E como -2\in A, segue que
-2\in A\setminus B.

Passo 6

Teste para x=-1: verificar se -1\in B. Avaliamos:
-1\le -4\\ ? \quad\text{(falso)}
-1>0\\ ? \quad\text{(falso)}
Portanto
-1\notin B,
e como -1\in A, segue que
-1\in A\setminus B.

Passo 7

Teste para x=1: verificar se 1\in B. Avaliamos:
1\le -4\\ ? \quad\text{(falso)}
1>0\\ ? \quad\text{(verdadeiro)}
Como a segunda condição é verdadeira, temos
1\in B.
Logo, apesar de 1\in A, ele não pertence a A\setminus B porque está em B.

Passo 8

Juntando os resultados dos testes dos elementos de A: os elementos que permanecem (estão em A e não estão em B) são -2 e -1. Portanto
A\setminus B=\{-2,-1\}.

Resposta

\{-2,-1\}

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