Exercício 6. As leis de De Morgan dizem que para quaisquer conjuntos A, B vale que
(i) (A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}
(ii) (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c}
Considerando \mathbb{U}={n \in \mathbb{Z}:-10 \leq n \leq 10} como conjunto universo, verifique as leis de De Morgan para os seguintes conjuntos.
A=\{-2,-1,0,1,2\} e B=\{x \in \mathbb{U}: x é par \}

Passo 1

O enunciado pede para verificar as leis de De Morgan
\text{(i)}\quad (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c} \qquad\text{e}\qquad \text{(ii)}\quad (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c},
tomando como universo o conjunto \mathbb{U}=\{n\in\mathbb{Z}:-10\le n\le 10\}.
As informações dadas são:
  • \mathbb{U}=\{n\in\mathbb{Z}:-10\le n\le 10\}.
  • A=\{-2,-1,0,1,2\}.
  • B=\{x\in\mathbb{U}: x\text{ é par}\}é (ou seja, todos os inteiros pares em \mathbb{U}).
    O que se pede: mostrar que as igualdades das leis de De Morgan valem para esses conjuntos, calculando explicitamente os conjuntos envolvidos.

Passo 2

Vamos lembrar com palavras simples e com notação o que cada operação significa (isso ajuda a fazer na prova):
  • Interseção: A\cap B é o conjunto de elementos que estão ao mesmo tempo em A e em B.
  • União: A\cup B é o conjunto de elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).
  • Complemento relativo ao universo \mathbb{U}: para qualquer conjunto C\subseteq\mathbb{U}, C^{c} significa \mathbb{U}\setminus C, isto é, todos os elementos de \mathbb{U} que não estão em C.
    Essas definições basta aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Primeiro escrevo explicitamente o universo \mathbb{U} para usar nas operações de complemento:
\mathbb{U}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.

Passo 4

Escrevo também A e B explicitamente:
A=\{-2,-1,0,1,2\},
e, como B são os pares em \mathbb{U},
B=\{-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10\}.

Passo 5

Calculo a interseção A\cap B: são os elementos que aparecem em ambas as listas A e B. Olhando para A vemos -2,0,2 que são pares e estão em B. Os outros elementos de A ( -1,1) são ímpares e não estão em B. Logo
A\cap B=\{-2,0,2\}.

Passo 6

Agora o complemento de A\cap B em relação a \mathbb{U} é simplesmente todos os elementos de \mathbb{U} que não são -2,0,2. Portanto
(A\cap B)^{c}=\mathbb{U}\setminus\{-2,0,2\}
ou escrito explicitamente,
(A\cap B)^{c}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-1,1,3,4,5,6,7,8,9,10\}.

Passo 7

Calculo agora A^{c} e B^{c} separadamente, porque eles aparecem no lado direito da (i). Pelo complemento relativo a \mathbb{U}:
A^{c}=\mathbb{U}\setminus A=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,3,4,5,6,7,8,9,10\}
(observe que aqui removi -2,-1,0,1,2 de \mathbb{U}).
Para B^{c}, como B são os pares, B^{c} são os ímpares de \mathbb{U}:
B^{c}=\{-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9\}.

Passo 8

Faço a união A^{c}\cup B^{c}. A união pega todos os elementos que estão em A^{c} ou em B^{c}. Se olharmos as listas, A^{c} já contém muitos números (pares e alguns ímpares maiores como 3,4,\dots,10), e B^{c} contém todos os ímpares. Ao unir, obtemos todos os elementos de \mathbb{U} exceto exatamente -2,0,2 (porque esses três pertencem tanto a A quanto a B e, portanto, não aparecem nem em A^{c} nem em B^{c}). Assim
A^{c}\cup B^{c}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-1,1,3,4,5,6,7,8,9,10\}.
Comparando com o que obtivemos em (A\cap B)^{c} (Passo 6), são exatamente os mesmos elementos. Portanto a lei (i) está verificada para estes conjuntos:
(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.

Passo 9

Agora trato a segunda lei. Primeiro calculo a união A\cup B. A união contém todos os pares de B e também os elementos de A que não estão em B. Como em A os únicos ímpares são -1 e 1, temos
A\cup B=\{-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,-1,1\}.
Podemos reordenar para ficar mais claro:
A\cup B=\{-10,-8,-6,-4,-2,-1,0,1,2,4,6,8,10\}.

Passo 10

O complemento (A\cup B)^{c} em relação a \mathbb{U} é então todos os elementos de \mathbb{U} que não aparecem em A\cup B. Observando \mathbb{U}, os elementos que faltam na união são os ímpares diferentes de -1 e 1, ou seja,
(A\cup B)^{c}=\{-9,-7,-5,-3,3,5,7,9\}.

Passo 11

Calculo A^{c}\cap B^{c}: precisão, intersecção significa pegar somente os elementos que estão simultaneamente em A^{c} e em B^{c}. Já tínhamos
A^{c}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,3,4,5,6,7,8,9,10\},
B^{c}=\{-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9\}.
A intersecção são os elementos que aparecem em ambas as listas: isto elimina -1 e 1 porque elas estão em B^{c} mas não em A^{c}, e mantém os ímpares que aparecem em ambas (ou seja, os ímpares exceto -1 e 1). Portanto
A^{c}\cap B^{c}=\{-9,-7,-5,-3,3,5,7,9\}.
Comparando com (A\cup B)^{c} (Passo 10), vemos que são exatamente iguais. Logo a lei (ii) também está verificada:
(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.

Passo 12

Resumo conceitual rápido (para decorar e usar na prova): o complemento transforma “e” em “ou” e vice-versa. Em notação:
\mathbb{U}\setminus(A\cap B)=(\mathbb{U}\setminus A)\cup(\mathbb{U}\setminus B), \qquad \mathbb{U}\setminus(A\cup B)=(\mathbb{U}\setminus A)\cap(\mathbb{U}\setminus B).
Nos cálculos acima aplicamos isso explicitamente com listas, mostrando a igualdade elemento a elemento. Mandou bem por trazer um exercício prático — isso ajuda muito na prova!

Resposta

(i) (A\cap B)^{c}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-1,1,3,4,5,6,7,8,9,10\} = A^{c}\cup B^{c}
(ii) (A\cup B)^{c}=\{-9,-7,-5,-3,3,5,7,9\} = A^{c}\cap B^{c}

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