Exercício 6. As leis de De Morgan dizem que para quaisquer conjuntos
vale que
(i)
(ii)
Considerando
como conjunto universo, verifique as leis de De Morgan para os seguintes conjuntos.
e
é par
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para verificar as leis de De Morgan
tomando como universo o conjunto
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
-
. -
. -
(ou seja, todos os inteiros pares em ).
O que se pede: mostrar que as igualdades das leis de De Morgan valem para esses conjuntos, calculando explicitamente os conjuntos envolvidos.
Passo 2
Vamos lembrar com palavras simples e com notação o que cada operação significa (isso ajuda a fazer na prova):
- Interseção:
é o conjunto de elementos que estão ao mesmo tempo em e em . - União:
é o conjunto de elementos que estão em ou em (ou em ambos). - Complemento relativo ao universo
: para qualquer conjunto , significa , isto é, todos os elementos de que não estão em .
Essas definições basta aplicá-las passo a passo.
Passo 3
Primeiro escrevo explicitamente o universo
para usar nas operações de complemento:
Passo 4
Escrevo também
e
explicitamente:
e, como
são os pares em
,
Passo 5
Calculo a interseção
: são os elementos que aparecem em ambas as listas
e
. Olhando para
vemos
que são pares e estão em
. Os outros elementos de
(
) são ímpares e não estão em
. Logo
Passo 6
Agora o complemento de
em relação a
é simplesmente todos os elementos de
que não são
. Portanto
ou escrito explicitamente,
Passo 7
Calculo agora
e
separadamente, porque eles aparecem no lado direito da (i). Pelo complemento relativo a
:
(observe que aqui removi
de
).
Para , como
são os pares,
são os ímpares de
:
Para
Passo 8
Faço a união
. A união pega todos os elementos que estão em
ou em
. Se olharmos as listas,
já contém muitos números (pares e alguns ímpares maiores como
), e
contém todos os ímpares. Ao unir, obtemos todos os elementos de
exceto exatamente
(porque esses três pertencem tanto a
quanto a
e, portanto, não aparecem nem em
nem em
). Assim
Comparando com o que obtivemos em
(Passo 6), são exatamente os mesmos elementos. Portanto a lei (i) está verificada para estes conjuntos:
Passo 9
Agora trato a segunda lei. Primeiro calculo a união
. A união contém todos os pares de
e também os elementos de
que não estão em
. Como em
os únicos ímpares são
e
, temos
Podemos reordenar para ficar mais claro:
Passo 10
O complemento
em relação a
é então todos os elementos de
que não aparecem em
. Observando
, os elementos que faltam na união são os ímpares diferentes de
e
, ou seja,
Passo 11
Calculo
: precisão, intersecção significa pegar somente os elementos que estão simultaneamente em
e em
. Já tínhamos
A intersecção são os elementos que aparecem em ambas as listas: isto elimina
e
porque elas estão em
mas não em
, e mantém os ímpares que aparecem em ambas (ou seja, os ímpares exceto
e
). Portanto
Comparando com
(Passo 10), vemos que são exatamente iguais. Logo a lei (ii) também está verificada:
Passo 12
Resumo conceitual rápido (para decorar e usar na prova): o complemento transforma “e” em “ou” e vice-versa. Em notação:
Nos cálculos acima aplicamos isso explicitamente com listas, mostrando a igualdade elemento a elemento. Mandou bem por trazer um exercício prático — isso ajuda muito na prova!
Resposta
(i)
(ii)
(ii)