A inversa da função f: R (0,+infty), f(x)=e^3 x+1 é a função:
Escolha uma opção:
a. g:(0,+infty) R, g(x)=ln (3 x+1)
b. g:(0,+infty) R, g(x)=1ln (3 x+1)
c. g:(0,+infty) R, g(x)=3 ln x-1
d. g:(0,+infty) R, g(x)=ln x-13
e. g:(0,+infty) R, g(x)=1e^3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de fcolon Rto(0,+infty) dada por
f(x)=e^3x+1
O conteúdo principal é “função inversa” e vamos usar propriedades do logaritmo natural para isolar x.

Passo 2

Definimos
y = f(x) = e^3x+1
e o objetivo é resolver essa equação em x em função de y, obtendo a inversa g(y).

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Como ln(e^u)=u, temos
ln y = lnl(e^3x+1r) = 3x + 1

Passo 4

Isolamos x:
ln y = 3x + 1 Longrightarrow 3x = ln y - 1 Longrightarrow x = ln y - 13

Passo 5

Logo a inversa gcolon(0,+infty)toR é
g(y) = ln y - 13
Compare com as opções dadas: corresponde à alternativa (d).

Resposta

d. g(x)=ln x-13

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