Exercício 4. Para os dados brutos abaixo (altura, em m), calcule:
1,72 1,68 1,85 1,66 1,79 1,68 1,92 1,90 1,89 1,61
1,84 1,83 1,77 1,72 1,65 1,80 1,72 1,71 1,67 1,92
a. A média, a mediana e a moda.
b. A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação (CV).
c. O intervalo interquartil (IIQ).

Passo 1

O enunciado fornece n=20 medidas de altura (em metros) e pede estatísticas descritivas de tendência central (média, mediana, moda), de dispersão (variância, desvio-padrão, coeficiente de variação) e o intervalo interquartil. Vamos primeiro organizar os dados para depois calcular cada uma dessas medidas.

Passo 2

Para calcular a média aritmética definimos
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Ordenando os valores temos
1,61;\,1,65;\,1,66;\,1,67;\,1,68;\,1,68;\,1,71;\,1,72;\,1,72;\,1,72;\, 1,77;\,1,79;\,1,80;\,1,83;\,1,84;\,1,85;\,1,89;\,1,90;\,1,92;\,1,92.
A soma desses 20 valores é aproximadamente \sum x_i = 35,33. Logo
\bar x = \frac{35,33}{20} = 1,7665\\ \text{m}.

Passo 3

Mediana: com n par usamos a média do 10^\text{o} e do 11^\text{o} valores ordenados, isto é,
\tilde{x} = \frac{1,72 + 1,77}{2} = 1,745\\ \text{m}.
Moda: é o valor que mais se repete. Olhando os dados, 1,72 aparece 3 vezes, mais que qualquer outro, logo a moda é 1,72 m.

Passo 4

Variância amostral s^2 e desvio-padrão s definimos por
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 \quad\text{ou equivalentemente}\quad s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\,\bar x^2}{n-1}.
Calculamos \sum x_i^2 \approx 62,5921 e já temos n\,\bar x^2 = 20 \times (1,7665)^2 \approx 62,4166. Portanto
\sum (x_i - \bar x)^2 = 62,5921 - 62,4166 = 0,1755,
s^2 = \frac{0,1755}{19} = 0,00924\\ \text{(m}^2\text{)}, \qquad s = \sqrt{0,00924} = 0,0961\\ \text{m}.
Coeficiente de variação
\mathrm{CV} = \frac{s}{\bar x} = \frac{0,0961}{1,7665} \approx 0,0544 = 5,44\%.

Passo 5

Para o intervalo interquartil (IIQ) precisamos de Q_1 e Q_3. Usando interpolação linear nas posições
Q_1: \frac{n+1}{4} = 5{,}25,\quad Q_3: \frac{3(n+1)}{4} = 15{,}75.
No 5{,}25-ésimo ponto cai entre o 5^\text{o} e o 6^\text{o} valores (ambos 1,68), logo
Q_1 = 1,68 + 0{,}25\,(1,68-1,68) = 1,68.
No 15{,}75-ésimo ponto cai entre o 15^\text{o} e o 16^\text{o} valores ( 1,84 e 1,85), então
Q_3 = 1,84 + 0{,}75\,(1,85-1,84) = 1,8475.
Portanto
\mathrm{IIQ} = Q_3 - Q_1 = 1,8475 - 1,68 = 0,1675\\ \text{m}.

Resposta

a. \bar x = 1,7665 m, mediana =1,745 m, moda =1,72 m.
b. s^2 = 0,00924 m ^2, s = 0,0961 m, \mathrm{CV} = 5,44\%.
c. \mathrm{IIQ} = 0,1675 m.

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