Exercício 2. Dados os conjuntos A=\{0\}, B=\{0,1\}, C=\{\{0\}, 1\} e D=\{\{0\},\{1\}\}, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
1 \in D

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{0\},\quad B=\{0,1\},\quad C=\{\{0\},1\},\quad D=\{\{0\},\{1\}\}
e pergunta se a afirmação \,1\in D, é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes: os elementos escritos entre chaves em \,D, são \,\{0\}, e \,\{1\}.

Passo 2

Definição importante (passo-a-passo): dizer que x\in S significa que o elemento x aparece explicitamente como um dos membros da lista que define S.
Exemplo simples para fixar: \,1\in\{1\}, é verdadeiro porque o elemento 1 está diretamente listado em \{1\}. Já \,1\in\{\{1\}\}, é falso porque o único elemento dessa última é \{1\} (que é um conjunto), não o número 1 em si.

Passo 3

Escrevendo claramente os elementos de D:
D=\{\{0\},\{1\}\}
Logo os elementos de D são somente \{0\} e \{1\}. Ou seja, qualquer verificação de pertença \,x\in D, exige que x seja igual a \{0\} ou igual a \{1\}.

Passo 4

Comparando com 1: precisamos checar se 1=\{0\} ou 1=\{1\}.
  • 1\neq\{0\} porque \{0\} contém o elemento 0 e 1 não é o conjunto cujo único elemento é 0.
  • 1\neq\{1\} porque \{1\} é um conjunto cujo único elemento é 1; o número 1 não é igual ao conjunto \{1\} (um é um objeto atômico/número, o outro é um conjunto que contém esse número).

Passo 5

Observação útil para não confundir: temos \,1\in\{1\}, e também \,\{1\}\in D. Assim existe a cadeia \,1\in\{1\}\in D, (ou seja, 1 é elemento de um elemento de D), mas isso não implica \,1\in D. Pertencer a um elemento de D é diferente de pertencer diretamente a D.

Passo 6

Conclusão do raciocínio: como nenhum dos elementos de D é exatamente o objeto 1, segue-se que \,1\notin D.

Resposta

Falso

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