Exercício 1. Descreva os conjuntos a seguir de maneira enumerativa.
Passo 1
O enunciado pede para descrever de forma enumerativa o conjunto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável
pertence ao conjunto dos inteiros . - A condição que
deve satisfazer é a equação .
O que precisamos encontrar: listar, entre os inteiros, todos os valores deque tornam verdadeira a igualdade .
Passo 2
Reescrevemos a equação para ver melhor o que ela exige:
Agora a pergunta é: existe algum inteiro
tal que
?
Passo 3
Vamos estudar a propriedade básica dos quadrados de inteiros: para todo
vale
Explicação pedagógica: ao elevar um inteiro ao quadrado multiplicamos
por si mesmo; se
é positivo ou zero, o produto é não negativo; se
é negativo,
e
é positivo, logo o quadrado também é não negativo. Exemplos concretos para fixar:
Perceba que nenhum desses resultados é negativo.
Passo 4
Usamos a propriedade anterior para verificar a possibilidade
. O número
é negativo, mas pelo fato de que todo quadrado de inteiro é não negativo temos
para todo
. Portanto não pode ocorrer
. Formalizando por contradição: suponha que exista
com
. Então teríamos
, o que é absurdo porque
. Logo tal
não existe.
Passo 5
Concluímos que não há nenhum inteiro que satisfaça
. Ou seja, o conjunto pedido não contém elementos; é o conjunto vazio. A descrição enumerativa (listar os elementos) do conjunto é simplesmente uma lista vazia dentro de chaves.