Exercício 1. Descreva os conjuntos a seguir de maneira enumerativa.
\left\{x \in \mathbb{Z}: x^{2}+1=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para descrever de forma enumerativa o conjunto
\{x \in \mathbb{Z}: x^{2}+1=0\}.
Informações dadas:
  • A variável x pertence ao conjunto dos inteiros \mathbb{Z}.
  • A condição que x deve satisfazer é a equação x^{2}+1=0.
    O que precisamos encontrar: listar, entre os inteiros, todos os valores de x que tornam verdadeira a igualdade x^{2}+1=0.

Passo 2

Reescrevemos a equação para ver melhor o que ela exige:
x^{2}+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=-1.
Agora a pergunta é: existe algum inteiro x tal que x^{2}=-1?

Passo 3

Vamos estudar a propriedade básica dos quadrados de inteiros: para todo x\in\mathbb{Z} vale
x^{2}\ge 0.
Explicação pedagógica: ao elevar um inteiro ao quadrado multiplicamos x por si mesmo; se x é positivo ou zero, o produto é não negativo; se x é negativo, x^{2}=(-x)^{2} e -x é positivo, logo o quadrado também é não negativo. Exemplos concretos para fixar:
0^{2}=0,\quad 1^{2}=1,\quad (-1)^{2}=1,\quad 2^{2}=4,\quad (-2)^{2}=4.
Perceba que nenhum desses resultados é negativo.

Passo 4

Usamos a propriedade anterior para verificar a possibilidade x^{2}=-1. O número -1 é negativo, mas pelo fato de que todo quadrado de inteiro é não negativo temos x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{Z}. Portanto não pode ocorrer x^{2}=-1. Formalizando por contradição: suponha que exista x\in\mathbb{Z} com x^{2}=-1. Então teríamos -1=x^{2}\ge 0, o que é absurdo porque -1<0. Logo tal x não existe.

Passo 5

Concluímos que não há nenhum inteiro que satisfaça x^{2}+1=0. Ou seja, o conjunto pedido não contém elementos; é o conjunto vazio. A descrição enumerativa (listar os elementos) do conjunto é simplesmente uma lista vazia dentro de chaves.

Resposta

\{\}

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