Exercício 3: Dados os pontos A, B e C da questão anterior:
(a) Obtenha uma equação geral do plano \pi definido pelos três pontos.
(b) Determine um versor \hat{n} normal a \pi.
(c) Escreva a equação geral de um plano \eta paralelo a \pi que passe pelo ponto D=(4,1,1).
(d) Obtenha a distância d_{\pi \eta} entre os planos \pi e \eta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos disponívels. O enunciado faz quatro perguntas:
(a) Obter uma equação geral do plano \pi definido pelos três pontos A,B,C.
(b) Determinar um versor \hat{n} normal a \pi.
(c) Escrever a equação geral de um plano \eta paralelo a \pi que passe pelo ponto D=(4,1,1).
(d) Obter a distância d_{\pi\eta} entre os planos \pi e \eta.
Informações dadas no enunciado desta mensagem:
O ponto D foi fornecido: D=(4,1,1).
Informação que falta e que é essencial:
As coordenadas dos pontos A, B e C NÃO foram fornecidas (eram da questão anterior, que não foi enviada aqui). Sem as coordenadas de A,B,C não é possível calcular numericamente o plano \pi, o vetor normal numérico, nem os valores numéricos de \eta e da distância d_{\pi\eta}.
Passo 2
Explicar a forma geral de obter a equação do plano a partir de três pontos (metodologia que será aplicada assim que A,B,C forem conhecidos). Vou usar notação com coordenadas simbólicas para ser preciso e didático.
Esses vetores estão contidos em \pi. A ideia chave: um vetor normal ao plano é perpendicular a qualquer vetor do plano; portanto pode ser obtido através do produto vetorial (cross product) de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Passo 3
Mostrar como calcular o produto vetorial e interpretar o resultado.
O produto vetorial \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} dá um vetor perpendicular a ambos. O cálculo componente a componente é:
\mathbf{n}=(a,b,c),
onde
a=(y_B-y_A)(z_C-z_A) - (z_B-z_A)(y_C-y_A),
b=(z_B-z_A)(x_C-x_A) - (x_B-x_A)(z_C-z_A),
c=(x_B-x_A)(y_C-y_A) - (y_B-y_A)(x_C-x_A).
Explicando: cada componente é um determinante 2×2 que surge da regra do produto vetorial; esse vetor \mathbf{n} satisfaz \mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0 e \mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0, ou seja, é normal ao plano.
Passo 4
A partir do vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) obter a equação cartesiana (equação geral) do plano \pi.
Se um vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c) e A é um ponto do plano, a equação vetorial do plano é
\mathbf{n}\cdot (x-x_A,y-y_A,z-z_A)=0.
Expansão desta igualdade fornece a forma linear padrão
a x + b y + c z + d = 0,
onde
d = -\bigl(a x_A + b y_A + c z_A\bigr).
Portanto, assim que se conheçam A,B,C, calcula-se a,b,c via produto vetorial e obtém-se d substituindo as coordenadas de A (ou de B ou C, qualquer um serve, pois todos estão no plano).
Passo 5
Como obter o versor normal \hat{n} (parte (b)) — explicação e fórmula.
O versor normal é o vetor normal unitário (norma igual a 1). Primeiro calcule a norma de \mathbf{n}:
Observação importante: o sinal do versor pode ser trocado (tanto \hat{n} quanto -\hat{n} são versores normais), isso apenas inverte a orientação.
Passo 6
Construir a equação do plano \eta paralelo a \pi que passe por D=(4,1,1) (parte (c)).
Do ponto de vista algébrico, planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Logo, \eta terá a mesma tripla de coeficientes a,b,c. Portanto a equação de \eta é
a x + b y + c z + d' = 0,
onde d' é encontrado impondo que D satisfaça a equação:
d' = -\bigl(a x_D + b y_D + c z_D\bigr).
Como D=(4,1,1), especificamente
d' = -\bigl(4a + 1\cdot b + 1\cdot c\bigr) = -(4a+b+c).
Passo 7
Fórmula da distância entre dois planos paralelos e interpretação (parte (d)).
Considere dois planos paralelos na forma
a x + b y + c z + d = 0
e
a x + b y + c z + d' = 0,
com mesmo vetor normal (a,b,c). A distância entre eles é dada por
d_{\pi\eta}=\frac{|d'-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Derivação curta e intuitiva: a distância mínima entre planos paralelos ocorre ao longo da direção normal; se projeta a diferença de constantes na direção normal e normaliza pela norma do vetor normal.
Usando as expressões de d e d' em termos dos pontos, podemos escrever também
Isso é prático: pega-se um ponto A do plano \pi, projeta-se o vetor D-A sobre a normal \mathbf{n} e toma-se o módulo dividido pela norma da normal.
Passo 8
Conclusão prática e observação final sobre impossibilidade de cálculo numérico.
Resumo: dei a receita completa e as fórmulas que permitem calcular numericamente (a) a equação geral de \pi, (b) o versor normal \hat{n}, (c) a equação de \eta e (d) a distância d_{\pi\eta} assim que as coordenadas de A,B,C forem fornecidas. Contudo, como as coordenadas de A,B,C não foram fornecidas aqui, não é possível obter os valores numéricos finais pedidos nos itens (a)–(d). Não inventei valores para A,B,C porque o enunciado original da questão anterior (que contém esses pontos) não foi enviado.
Resposta
(a) \pi:\;a x + b y + c z + d = 0, com \displaystyle (a,b,c)=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} e \displaystyle d=-\bigl(a x_A+b y_A+c z_A\bigr), onde A=(x_A,y_A,z_A),B=(x_B,y_B,z_B),C=(x_C,y_C,z_C).
(b) \displaystyle \hat{n}=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c).
(c) \eta:\;a x + b y + c z + d' = 0, com \displaystyle d'=-\bigl(a\cdot 4 + b\cdot 1 + c\cdot 1\bigr)=-(4a+b+c).
(d) \displaystyle d_{\pi\eta}=\frac{|d'-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\bigl|\mathbf{n}\cdot (D-A)\bigr|}{\|\mathbf{n}\|}=\frac{|a(4-x_A)+b(1-y_A)+c(1-z_A)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
(Observação: não foi possível fornecer valores numéricos porque as coordenadas de A,B,C não foram fornecidas.)