Exercício 6. Dados os vetores V=(c3 -1 -2) e W=(c1 0 -3), encontre um vetor U que seja perpendicular a 2 V+W e W-V simultaneamente.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
V = 3 -1 -2 e W = 1 0 -3
e pede um vetor U que seja perpendicular a 2V+W e a W-V simultaneamente. Vamos usar linhas combinações lineares e produto vetorial em R^3, pois o produto vetorial de dois vetores em R^3 gera um vetor ortogonal a ambos.

Passo 2

Definimos
A = 2V + W
Calculando:
A = 23 -1 -2 + 1 0 -3 = 6 -2 -4 + 1 0 -3 = 7 -2 -7

Passo 3

Definimos
B = W - V
Calculando:
B = 1 0 -3 - 3 -1 -2 = -2 1 -1

Passo 4

O vetor perpendicular a A e B é dado por A times B. Usando a definição por determinante:
A times B = i & j & k 7 & -2 & -7 -2 & 1 & -1 = (-2)(-1) - (-7)(1) [6pt] -l(7(-1) - (-7)(-2)r) [6pt] 7 cdot 1 - (-2)(-2) = 2 + 7 [4pt] -(-7 - 14) [4pt] 7 - 4 = 9 21 3 ]

Passo 5

Podemos simplificar dividindo por 3, obtendo
U = 3 7 1
Para confirmar que U é perpendicular a A e B, basta verificar os produtos escalares:
Ucdot A = 3cdot7 + 7cdot(-2) + 1cdot(-7) = 21 -14 -7 = 0,
Ucdot B = 3cdot(-2) + 7cdot1 + 1cdot(-1) = -6 +7 -1 = 0
Portanto, U é ortogonal a ambos.

Resposta

U = 3 7 1

Exercícios relacionados