Exercício 1. Dados os vetores vec{u}=(1,-1) e vec{v}=(-3,4), calcular:
\|2 \vec{u}-\vec{v}\|

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o módulo (norma) de uma combinação linear:
  • Vetores fornecidos: \vec{u}=(1,-1) e \vec{v}=(-3,4).
  • O que se deve calcular: \displaystyle \|2\vec{u}-\vec{v}\|.

Passo 2

Primeiro vamos entender e calcular a multiplicação por escalar. Para um escalar a e um vetor \vec{x}=(x_1,x_2), a definição é
a\vec{x}=(a x_1,\;a x_2).
Aplicando com a=2 e \vec{u}=(1,-1), obtemos
2\vec{u}=(2\cdot1,\;2\cdot(-1))=(2,-2).

Passo 3

Agora fazemos a subtração de vetores. Para \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2),
\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\;a_2-b_2).
Usando \;2\vec{u}=(2,-2)\; e \;\vec{v}=(-3,4)\;, temos
2\vec{u}-\vec{v}=(2-(-3),\;-2-4)=(2+3,\;-6)=(5,-6).

Passo 4

Explicando a norma (módulo) euclidiana em \mathbb{R}^2: para \vec{w}=(w_1,w_2),
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}.
Aplicando a \vec{w}=2\vec{u}-\vec{v}=(5,-6), calculamos
\|2\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{5^2+(-6)^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}.
Observação rápida: 61 é primo, então \sqrt{61} não simplifica em radicais racionais; se quiser uma noção decimal, \sqrt{61}\approx7{,}81.

Resposta

\sqrt{61}

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