Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{H F}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{H F} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações relevantes (retiradas da figura):
Os vetores da base são \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} (isso já vem no enunciado).
Os pontos A,F,H,J,D estão alinhados na mesma reta inferior, na ordem A — F — H — J — D. (peguei essa ordem da imagem)
Cada “passo” horizontal entre colunas adjacentes corresponde a um vetor \overrightarrow{A F} (isto é, ir de A para F é um passo; de A para H são dois passos). (peguei isso da imagem)
Cada “passo” vertical entre uma linha e a de cima corresponde a um vetor \overrightarrow{A B}. (peguei isso da imagem)
Passo 2
Explicar o que significa “coordenadas de um vetor numa base” de forma bem prática.
Se uma base é \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}), então qualquer vetor \overrightarrow{w} pode ser escrito como combinação linear
então \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} são as coordenadas pedidas.
Para calcular x e y é conveniente usar o ponto A como “origem de posição”: representar as posições como vetores \overrightarrow{A(\cdot)}. Assim, a posição de F é \overrightarrow{A F}, a de H é \overrightarrow{A H}, e
Portanto as coordenadas de \overrightarrow{H F} na base \mathcal{B} são x=-1 e y=0.
Passo 5
Interpretação final e dica rápida para prova.
O resultado significa simplesmente que, para ir de H até F você caminha um passo no sentido negativo de \overrightarrow{A F} (ou seja, uma coluna para a esquerda) e não sobe nem desce (nenhum componente em \overrightarrow{A B}).