Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{H F}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{H F} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações relevantes (retiradas da figura):
  • Os vetores da base são \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} (isso já vem no enunciado).
  • Os pontos A,F,H,J,D estão alinhados na mesma reta inferior, na ordem A F H J D. (peguei essa ordem da imagem)
  • Cada “passo” horizontal entre colunas adjacentes corresponde a um vetor \overrightarrow{A F} (isto é, ir de A para F é um passo; de A para H são dois passos). (peguei isso da imagem)
  • Cada “passo” vertical entre uma linha e a de cima corresponde a um vetor \overrightarrow{A B}. (peguei isso da imagem)

Passo 2

Explicar o que significa “coordenadas de um vetor numa base” de forma bem prática.
  • Se uma base é \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}), então qualquer vetor \overrightarrow{w} pode ser escrito como combinação linear
\overrightarrow{w}=x\,\overrightarrow{u}+y\,\overrightarrow{v},
onde x e y são números reais. Os números x e y são as coordenadas de \overrightarrow{w} na base \mathcal{B}.
  • No nosso caso \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A F} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{A B}. Logo, se encontrarmos x e y tais que
\overrightarrow{H F}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B},
então \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} são as coordenadas pedidas.
  • Para calcular x e y é conveniente usar o ponto A como “origem de posição”: representar as posições como vetores \overrightarrow{A(\cdot)}. Assim, a posição de F é \overrightarrow{A F}, a de H é \overrightarrow{A H}, e
\overrightarrow{H F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A H}.
Essa é uma propriedade simples de vetores (subtrair posição final menos posição inicial).]

Passo 3

Determinar \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A H} em coordenadas da base \mathcal{B}, usando os dados visuais da figura.
  • Pela figura (peguei da imagem), F é exatamente um passo horizontal à direita de A. Isso significa, por definição da base,
\overrightarrow{A F}=1\cdot\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B}.
Em coordenadas:
\overrightarrow{A F}\equiv\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}_{\mathcal{B}}.
  • Pela figura (peguei da imagem), H é dois passos horizontais à direita de A (ordem A- F- H). Assim
\overrightarrow{A H}=2\cdot\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B},
ou seja
\overrightarrow{A H}\equiv\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}_{\mathcal{B}}.]

Passo 4

Calcular \overrightarrow{H F} como diferença de vetores posição e escrever em função da base.
  • Usando a fórmula do passo anterior,
\overrightarrow{H F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A H}.
  • Substituindo as coordenadas (em termos de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B}):
\overrightarrow{H F}=\big(1\cdot\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B}\big)-\big(2\cdot\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B}\big).
  • Agrupando coeficientes:
\overrightarrow{H F}=(1-2)\,\overrightarrow{A F}+(0-0)\,\overrightarrow{A B}=-1\cdot\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B}.
  • Portanto as coordenadas de \overrightarrow{H F} na base \mathcal{B} são x=-1 e y=0.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para prova.
  • O resultado significa simplesmente que, para ir de H até F você caminha um passo no sentido negativo de \overrightarrow{A F} (ou seja, uma coluna para a esquerda) e não sobe nem desce (nenhum componente em \overrightarrow{A B}).
  • Em notação de coordenadas na base \mathcal{B}:
\overrightarrow{H F}\equiv\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}_{\mathcal{B}}.]

Resposta

\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}]

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