Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{D H}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{D H} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
Informações relevantes dadas / observadas na figura (peguei estes dados da imagem):
Os pontos da linha inferior, da esquerda para a direita, aparecem na ordem A, F, H, J, D.
Os pontos consecutivos dessa linha inferior são separados por vetores iguais: \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F H}=\overrightarrow{H J}=\overrightarrow{J D}.
Assim, olhando a figura, cada passo à direita ao longo da linha inferior equivale a somar \overrightarrow{A F}.
Passo 2
Entendendo o que significa coordenada de um vetor numa base:
Quando a base é \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}), escrever as coordenadas de um vetor significa achar dois números x,y tais que
Aqui \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} são vetores fixos que formam a base; x é quantas vezes (com sinal) nos movimentamos na direção \overrightarrow{A F} e y é quantas vezes (com sinal) na direção \overrightarrow{A B}.
Para aplicar isso de forma concreta usemos as posições relativas dos pontos tiradas da figura (informação retirada da imagem):
Como os passos consecutivos na linha inferior são todos iguais, podemos escrever as posições (vetores de posição relativos a A) dos pontos da linha inferior como múltiplos de \overrightarrow{A F}:
A igualdade \overrightarrow{D H}=-2\,\overrightarrow{A F} mostra que o componente na direção \overrightarrow{A F} é -2 e o componente na direção \overrightarrow{A B} é 0.
Portanto, as coordenadas de \overrightarrow{D H} na base \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}) são (-2,0).