Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{D H}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{D H} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
\overrightarrow{D H}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Informações relevantes dadas / observadas na figura (peguei estes dados da imagem):
  • Os pontos da linha inferior, da esquerda para a direita, aparecem na ordem A, F, H, J, D.
  • Os pontos consecutivos dessa linha inferior são separados por vetores iguais: \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F H}=\overrightarrow{H J}=\overrightarrow{J D}.
  • Assim, olhando a figura, cada passo à direita ao longo da linha inferior equivale a somar \overrightarrow{A F}.

Passo 2

Entendendo o que significa coordenada de um vetor numa base:
  • Quando a base é \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}), escrever as coordenadas de um vetor significa achar dois números x,y tais que
\overrightarrow{D H}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
  • Aqui \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} são vetores fixos que formam a base; x é quantas vezes (com sinal) nos movimentamos na direção \overrightarrow{A F} e y é quantas vezes (com sinal) na direção \overrightarrow{A B}.
Para aplicar isso de forma concreta usemos as posições relativas dos pontos tiradas da figura (informação retirada da imagem):
  • Como os passos consecutivos na linha inferior são todos iguais, podemos escrever as posições (vetores de posição relativos a A) dos pontos da linha inferior como múltiplos de \overrightarrow{A F}:
\overrightarrow{A F}=1\cdot\overrightarrow{A F},\qquad \overrightarrow{A H}=2\cdot\overrightarrow{A F},\qquad \overrightarrow{A J}=3\cdot\overrightarrow{A F},\qquad \overrightarrow{A D}=4\cdot\overrightarrow{A F}.
(estas igualdades vêm diretamente da observação na figura de que F,H,J,D são os pontos consecutivos depois de A.)

Passo 3

Calcular \overrightarrow{D H} usando as posições relativas:
  • Por definição de diferença de vetores entre pontos,
\overrightarrow{D H}=\overrightarrow{A H}-\overrightarrow{A D}.
  • Substituindo as expressões em termos de \overrightarrow{A F} obtidas no passo anterior:
\overrightarrow{D H}=2\cdot\overrightarrow{A F}-4\cdot\overrightarrow{A F}=(2-4)\,\overrightarrow{A F}=-2\,\overrightarrow{A F}.

Passo 4

Interpretando o resultado na base \mathcal{B}:
  • A igualdade \overrightarrow{D H}=-2\,\overrightarrow{A F} mostra que o componente na direção \overrightarrow{A F} é -2 e o componente na direção \overrightarrow{A B} é 0.
  • Portanto, as coordenadas de \overrightarrow{D H} na base \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}) são (-2,0).

Resposta

(-2,0)

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