Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
1 \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação \,1 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}\, é verdadeira ou falsa, e justificar brevemente. Informações dadas: o elemento em questão é o número 1 e o conjunto especificado é \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (os números racionais que não são inteiros).

Passo 2

Definamos claramente os conjuntos envolvidos, para não ter dúvida nenhuma sobre termos:
\mathbb{Z} é o conjunto dos inteiros: \dots,-2,-1,0,1,2,\dots.
\mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais, isto é, todos os números que podem ser escritos como uma fração \frac{p}{q} onde p e q são inteiros e q\neq 0.

Passo 3

Mostro que \,1 \in \mathbb{Q}\,. Para isso, basta exibir uma representação racional de 1. Por exemplo,
1=\frac{1}{1},
com p=1\in\mathbb{Z} e q=1\in\mathbb{Z}, q\neq 0. Logo 1 é racional e portanto 1\in\mathbb{Q}.

Passo 4

Mostro que \,1 \in \mathbb{Z}\,. Pela definição de inteiros, 1 aparece explicitamente na lista \dots,0,1,2,\dots. Portanto 1 é um número inteiro e 1\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Entenda o operador de diferença de conjuntos: para quaisquer conjuntos A e B,
x\in A\setminus B \quad\text{se e somente se}\quad (x\in A)\\ \text{e}\\ (x\notin B).
Ou seja, estar em A\setminus B exige pertencer a A e ao mesmo tempo não pertencer a B.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: para ter 1\in \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} seria necessário que 1\in\mathbb{Q} e 1\notin\mathbb{Z}. Mas do Passo 4 sabemos que 1\in\mathbb{Z}. Logo a condição 1\notin\mathbb{Z} é falsa, portanto 1\notin \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}. Conclusão: a afirmação é falsa.

Resposta

Falso

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