Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação
é verdadeira ou falsa, e que justifiquemos brevemente.
Informações dadas: a única expressão que precisamos analisar é e a notação de conjuntos
,
e
.
Informações dadas: a única expressão que precisamos analisar é
Passo 2
Entender o que significa cada símbolo (isso é essencial para responder):
-
é o conjunto dos inteiros: . Expliquei: inteiros são números sem parte fracionária. -
é o conjunto dos números racionais: números que podem ser escritos como uma fração com e . Expliquei: basta existir um numerador inteiro e um denominador inteiro não nulo. -
significa “os racionais que não são inteiros”, ou seja, todos os elementos de que não pertencem a .
Passo 3
Mostro que
. Pela definição de número racional, basta escrever
com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Aqui temos o numerador
e o denominador
com
. Logo, por definição,
Comentário didático: sempre que tivermos uma fração
com
inteiros e
, já sabemos que é racional — não precisa fazer mais nada.
Passo 4
Agora mostro que
(ou seja, não é inteiro). Faço uma prova por contradição simples: suponha, para discutir, que exista um inteiro
tal que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto diz que
é múltiplo de
. Mas os múltiplos de
são
— nenhum deles é
. Em linguagem de divisibilidade: a igualdade
implicaria que
divide
, o que é impossível porque
e
não é zero. Portanto chegamos a uma contradição, e a suposição de que
é inteiro é falsa. Concluímos
Comentário didático: outra maneira intuitiva é ver que
tem parte decimal não-nula, logo não é inteiro; mas a prova por divisibilidade é mais rigorosa.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores:
e
. Por definição de diferença de conjuntos, isso significa que
Logo a afirmação dada é verdadeira. Vai dar certo na prova — só lembrar: racional se escreve como fração de inteiros; inteiro não tem parte fracionária.
Resposta
Verdadeira.