Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
\frac{2}{7} \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação \frac{2}{7} \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z} é verdadeira ou falsa, e que justifiquemos brevemente.
Informações dadas: a única expressão que precisamos analisar é \frac{2}{7} e a notação de conjuntos \mathbb{Q}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z}.

Passo 2

Entender o que significa cada símbolo (isso é essencial para responder):
  • \mathbb{Z} é o conjunto dos inteiros: \{\,\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\,\}. Expliquei: inteiros são números sem parte fracionária.
  • \mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais: números que podem ser escritos como uma fração \frac{a}{b} com a\in\mathbb{Z} e b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. Expliquei: basta existir um numerador inteiro e um denominador inteiro não nulo.
  • \mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z} significa “os racionais que não são inteiros”, ou seja, todos os elementos de \mathbb{Q} que não pertencem a \mathbb{Z}.

Passo 3

Mostro que \frac{2}{7}\in\mathbb{Q}. Pela definição de número racional, basta escrever \frac{2}{7} com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Aqui temos o numerador 2\in\mathbb{Z} e o denominador 7\in\mathbb{Z} com 7\neq 0. Logo, por definição,
\frac{2}{7}\in\mathbb{Q}.
Comentário didático: sempre que tivermos uma fração \frac{a}{b} com a,b inteiros e b\neq 0, já sabemos que é racional — não precisa fazer mais nada.

Passo 4

Agora mostro que \frac{2}{7}\notin\mathbb{Z} (ou seja, não é inteiro). Faço uma prova por contradição simples: suponha, para discutir, que exista um inteiro k\in\mathbb{Z} tal que
\frac{2}{7}=k.
Multiplicando ambos os lados por 7 obtemos
2=7k.
Isto diz que 2 é múltiplo de 7. Mas os múltiplos de 7 são \dots,-14,-7,0,7,14,\dots — nenhum deles é 2. Em linguagem de divisibilidade: a igualdade 2=7k implicaria que 7 divide 2, o que é impossível porque |2|<7 e 2 não é zero. Portanto chegamos a uma contradição, e a suposição de que \frac{2}{7} é inteiro é falsa. Concluímos
\frac{2}{7}\notin\mathbb{Z}.
Comentário didático: outra maneira intuitiva é ver que \frac{2}{7}\approx 0,2857\ldots tem parte decimal não-nula, logo não é inteiro; mas a prova por divisibilidade é mais rigorosa.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores: \frac{2}{7}\in\mathbb{Q} e \frac{2}{7}\notin\mathbb{Z}. Por definição de diferença de conjuntos, isso significa que
\frac{2}{7}\in\mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z}.
Logo a afirmação dada é verdadeira. Vai dar certo na prova — só lembrar: racional se escreve como fração de inteiros; inteiro não tem parte fracionária.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados