Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
\frac{21}{14} é irredutível

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e que eu justifique brevemente:
\dfrac{21}{14} é irredutível.
Informações dadas: o numerador é \,21, e o denominador é \,14.

Passo 2

Primeiro preciso lembrar (explicar) o que significa uma fração ser irredutível. Uma fração \dfrac{a}{b} (com a e b inteiros, b\neq0) é irredutível quando o maior divisor comum de a e b é 1. Em notação:
\text{a fração }\dfrac{a}{b}\text{ é irredutível} \iff \gcd(a,b)=1.çãéí
Se existir um inteiro d>1 que divide tanto a quanto b, então a fração pode ser simplificada (é redutível).

Passo 3

Vou calcular o máximo divisor comum de \,21 e \,14 usando fatoração em primos (método simples e visual aqui). Fato:
21 = 3\cdot 7,
14 = 2\cdot 7.
Os fatores primos em comum entre 21 e 14 são apenas 7. Portanto o maior divisor comum é
\gcd(21,14)=7.

Passo 4

Como \gcd(21,14)=7\neq1, existe um divisor comum maior que 1. Logo \dfrac{21}{14} não é irredutível (é redutível). Para simplificar dividimos numerador e denominador por 7:
\dfrac{21}{14}=\dfrac{21\div7}{14\div7}=\dfrac{3}{2}.
A forma \dfrac{3}{2} já tem \gcd(3,2)=1, então é a forma irredutível.

Passo 5

Como alternativa rápida (sem fatoração), poderia usar o algoritmo de Euclides:
\gcd(21,14)=\gcd(14,21-14)=\gcd(14,7)=\gcd(7,14-7)=\gcd(7,0)=7,
chegando à mesma conclusão.

Resposta

Falsa. \dfrac{21}{14}=\dfrac{3}{2}

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