Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
é irredutível
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e que eu justifique brevemente:
é irredutível.
Informações dadas: o numerador é , e o denominador é
.
Informações dadas: o numerador é
Passo 2
Primeiro preciso lembrar (explicar) o que significa uma fração ser irredutível. Uma fração
(com
e
inteiros,
) é irredutível quando o maior divisor comum de
e
é
. Em notação:
Se existir um inteiro
que divide tanto
quanto
, então a fração pode ser simplificada (é redutível).
Passo 3
Vou calcular o máximo divisor comum de
e
usando fatoração em primos (método simples e visual aqui). Fato:
Os fatores primos em comum entre
e
são apenas
. Portanto o maior divisor comum é
Passo 4
Como
, existe um divisor comum maior que
. Logo
não é irredutível (é redutível). Para simplificar dividimos numerador e denominador por
:
A forma
já tem
, então é a forma irredutível.
Passo 5
Como alternativa rápida (sem fatoração), poderia usar o algoritmo de Euclides:
chegando à mesma conclusão.
Resposta
Falsa.