Exercício 0. Decore e saiba obter em menos de 2 minutos cada uma das séries de Maclaurin (Série de Taylor centrada na origem) das funções usuais dadas abaixo. Determine também seus respectivos raios de convergência.
a) f(x)=\cos x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Determinar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em zero) da função f(x)=\cos x.
Determinar o raio de convergência dessa série.
Informação dada:
A função fornecida é f(x)=\cos x.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula de Maclaurin e o que cada símbolo significa. A série de Maclaurin de uma função f que é suficientemente diferenciável em 0 é
f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0.
n! (fatorial de n) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n (com 0!=1).
O somatório \sum_{n=0}^{\infty} significa que somamos os termos para n=0,1,2,\dots.
Na prova: para obter a série, calcule as derivadas de f em 0 e coloque na fórmula acima.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de \cos x e avaliá‑las em 0. Observar o padrão é o segredo para fazer isso rápido:
Comentário prático: isso mostra que todos os coeficientes das potências ímpares são zero (a função é par) e os coeficientes das potências pares alternam de sinal com o fatorial no denominador.
Passo 4
Substituindo os valores f^{(n)}(0) na fórmula de Maclaurin e retirando os termos nulos (ímpares), escrevemos a soma só sobre os índices pares. Faça a mudança de índice n=2k para ficar mais limpo:
para qualquer x fixo. Pelo teste da razão, se esse limite é menor que 1 (aqui é 0), a série converge. Como dá 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Em termos de raio de convergência isso significa R=\infty.
Comentário intuitivo: o fatorial (2k)! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^{2k}, por isso a série converge para todos os x.
Passo 6
Dica prática para decorar e obter rápido na prova (em menos de 2 minutos):
Lembre que as derivadas de \cos x formam um ciclo de período 4: \cos, -\sin, -\cos, \sin,\cos,\dots.
Avalie na origem: \cos 0=1, \sin 0=0 — com isso você já vê que só aparecem potências pares.
Escreva os primeiros termos e identifique o padrão:
Em seguida expresse como somatório \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}. Pronto — decorado e justificável rapidamente.
Passo 7
Um incentivo: você consegue decorar esse padrão e reproduzir em prova com um truque rápido: enumere as derivadas até 4, avalie em 0 (sai 1,0,-1,0) e escreva os termos pares com alternância de sinal e fatorial no denominador. Repita esse passo 2 vezes em voz alta e já vira automático. Vai com tudo — tá na mão!