Exercício 0. Decore e saiba obter em menos de 2 minutos cada uma das séries de Maclaurin (Série de Taylor centrada na origem) das funções usuais dadas abaixo. Determine também seus respectivos raios de convergência.
a) f(x)=\cos x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em zero) da função f(x)=\cos x.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informação dada:
  • A função fornecida é f(x)=\cos x.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula de Maclaurin e o que cada símbolo significa. A série de Maclaurin de uma função f que é suficientemente diferenciável em 0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Explicando cada parte, de forma prática:
  • f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0.
  • n! (fatorial de n) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n (com 0!=1).
  • O somatório \sum_{n=0}^{\infty} significa que somamos os termos para n=0,1,2,\dots.
    Na prova: para obter a série, calcule as derivadas de f em 0 e coloque na fórmula acima.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de \cos x e avaliá‑las em 0. Observar o padrão é o segredo para fazer isso rápido:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\\\ f'(x)&=-\sin x,\\\ f''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x, \end{aligned}
e a sequência se repete a cada 4 derivadas. Agora avaliando em 0:
\begin{aligned} f(0)&=\cos 0=1,\\\ f'(0)&=-\sin 0=0,\\\ f''(0)&=-\cos 0=-1,\\\ f^{(3)}(0)&=\sin 0=0,\\\ f^{(4)}(0)&=\cos 0=1, \end{aligned}
e assim por diante. Resumindo o padrão útil:
f^{(2k)}(0)=(-1)^{k}\quad\text{e}\quad f^{(2k+1)}(0)=0\quad\text{para }k\ge 0.
Comentário prático: isso mostra que todos os coeficientes das potências ímpares são zero (a função é par) e os coeficientes das potências pares alternam de sinal com o fatorial no denominador.

Passo 4

Substituindo os valores f^{(n)}(0) na fórmula de Maclaurin e retirando os termos nulos (ímpares), escrevemos a soma só sobre os índices pares. Faça a mudança de índice n=2k para ficar mais limpo:
\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}\\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}. \end{aligned}
Esse é o desenvolvimento em série (a forma em somatório é a maneira mais compacta e fácil de memorizar).

Passo 5

Agora vamos determinar o raio de convergência R. Uma maneira direta é aplicar o teste da razão à série resultante. Considere os termos
b_k=\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}.
O teste da razão pede que calculemos
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right|.
Calculemos:
\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right| =\frac{|x|^{2(k+1)}}{(2k+2)!}\cdot\frac{(2k)!}{|x|^{2k}} =\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+1)}.
Ao fazermos k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+1)}=0
para qualquer x fixo. Pelo teste da razão, se esse limite é menor que 1 (aqui é 0), a série converge. Como dá 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Em termos de raio de convergência isso significa R=\infty.
Comentário intuitivo: o fatorial (2k)! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^{2k}, por isso a série converge para todos os x.

Passo 6

Dica prática para decorar e obter rápido na prova (em menos de 2 minutos):
  • Lembre que as derivadas de \cos x formam um ciclo de período 4: \cos, -\sin, -\cos, \sin,\cos,\dots.
  • Avalie na origem: \cos 0=1, \sin 0=0 — com isso você já vê que só aparecem potências pares.
  • Escreva os primeiros termos e identifique o padrão:
1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots
  • Em seguida expresse como somatório \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}. Pronto — decorado e justificável rapidamente.

Passo 7

Um incentivo: você consegue decorar esse padrão e reproduzir em prova com um truque rápido: enumere as derivadas até 4, avalie em 0 (sai 1,0,-1,0) e escreva os termos pares com alternância de sinal e fatorial no denominador. Repita esse passo 2 vezes em voz alta e já vira automático. Vai com tudo — tá na mão!

Resposta

\displaystyle \cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots
R=\infty

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