Considere a série de potências
f(x):=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}(x-2)^{m}}{2^{m}(3 m+1)} .
a) Determine o raio e o intervalo de convergência desta série.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em \,2:
f(x):=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}(x-2)^{m}}{2^{m}(3 m+1)} .
O que pede:
  • Determinar o raio de convergência R desta série de potências.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge), incluindo verificar se os pontos finais do intervalo de convergência estão incluídos ou não.
Informações dadas que vamos usar:
  • A série é da forma \sum_{m=0}^{\infty} c_m (x-2)^m com coeficientes
c_m=\frac{(-1)^m}{2^{m}(3m+1)}.

Passo 2

Como encontrar o raio R: para uma série de potências \sum c_m (x-x_0)^m o raio de convergência é dado pela fórmula (fórmula de Cauchy–Hadamard)
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{m\to\infty} |c_m|^{1/m}}.
Vou aplicar essa fórmula aos coeficientes \,c_m=\dfrac{(-1)^m}{2^{m}(3m+1)}. Primeiro precisamos calcular \displaystyle\limsup_{m\to\infty}|c_m|^{1/m}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\limsup_{m\to\infty}|c_m|^{1/m}.
|c_m|^{1/m}=\left(\frac{1}{2^{m}(3m+1)}\right)^{1/m}=\frac{1}{2}\,(3m+1)^{-1/m}.
Agora usamos o fato padrão que, para uma sequência linear em m, \displaystyle\lim_{m\to\infty}(3m+1)^{1/m}=1. (Explicação curta: tome logaritmo \frac{\ln(3m+1)}{m}\to 0, logo a potência vai a e^0=1.)
Portanto
\lim_{m\to\infty}|c_m|^{1/m}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.
Assim
R=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 4

Interpretando o raio: a série converge pelo menos para \,|x-2|<2, isto é no intervalo aberto
(2-2,\;2+2)=(0,4).
Agora é obrigatório verificar os pontos finais x=0 e x=4 separadamente (pois o raio dá apenas a abertura do intervalo).

Passo 5

Verificação em x=0.
Substituindo x=0 temos (x-2)^m=(-2)^m e
\frac{(-1)^m (x-2)^m}{2^m(3m+1)}\Bigg|_{x=0} =\frac{(-1)^m(-2)^m}{2^m(3m+1)}.
Calculemos o numerador: (-1)^m(-2)^m)=(-1)^m\cdot(-1)^m\cdot 2^m = (-1)^{2m}2^m=2^m. Então os termos simplificam para
\frac{2^m}{2^m(3m+1)}=\frac{1}{3m+1}.
Portanto a série em x=0 é
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{3m+1}.
Essa série é (por comparação com a série harmônica) divergente: por exemplo a comparação limite com \sum 1/m
\lim_{m\to\infty}\frac{1/(3m+1)}{1/m}=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{3m+1}=\frac{1}{3}>0,
logo \sum 1/(3m+1) diverge porque \sum 1/m diverge. Conclusão: a série NÃO converge em x=0.

Passo 6

Verificação em x=4.
Substituindo x=4 obtemos (x-2)^m=2^m e
\frac{(-1)^m (x-2)^m}{2^m(3m+1)}\Bigg|_{x=4} =\frac{(-1)^m 2^m}{2^m(3m+1)}=\frac{(-1)^m}{3m+1}.
Logo a série em x=4 é
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{3m+1}.
Esta é uma série alternada com termos b_m=\dfrac{1}{3m+1}. Verificações para aplicar o teste de Leibniz (alternating series test):
  • b_m>0 para todo m.
  • b_{m+1}=\dfrac{1}{3(m+1)+1}=\dfrac{1}{3m+4}<\dfrac{1}{3m+1}=b_m, logo (b_m) é monótona decrescente.
  • \lim_{m\to\infty} b_m=\lim_{m\to\infty}\dfrac{1}{3m+1}=0.
    Pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Contudo a série de termos absolutos é \sum 1/(3m+1) que já vimos que diverge; portanto a convergência em x=4 é condicional (não é absoluta), mas a série converge. Conclusão: x=4 pertence ao conjunto de convergência.

Passo 7

Juntando tudo:
  • Raio de convergência \,R=2.
  • Intervalo de convergência centralizado em 2 com raio 2 é (0,4).
  • Em x=0 a série diverge.
  • Em x=4 a série converge (condicionalmente).
    Portanto o intervalo de convergência (com inclusão/exclusão dos extremos) é (0,4].

Resposta

R=2
Intervalo de convergência: (0,4]

Exercícios relacionados