Determinar o raio de convergência R desta série de potências.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge), incluindo verificar se os pontos finais do intervalo de convergência estão incluídos ou não.
Informações dadas que vamos usar:
A série é da forma \sum_{m=0}^{\infty} c_m (x-2)^m com coeficientes
c_m=\frac{(-1)^m}{2^{m}(3m+1)}.
Passo 2
Como encontrar o raio R: para uma série de potências \sum c_m (x-x_0)^m o raio de convergência é dado pela fórmula (fórmula de Cauchy–Hadamard)
Vou aplicar essa fórmula aos coeficientes \,c_m=\dfrac{(-1)^m}{2^{m}(3m+1)}. Primeiro precisamos calcular \displaystyle\limsup_{m\to\infty}|c_m|^{1/m}.
Agora usamos o fato padrão que, para uma sequência linear em m, \displaystyle\lim_{m\to\infty}(3m+1)^{1/m}=1. (Explicação curta: tome logaritmo \frac{\ln(3m+1)}{m}\to 0, logo a potência vai a e^0=1.)
Portanto
Esta é uma série alternada com termos b_m=\dfrac{1}{3m+1}. Verificações para aplicar o teste de Leibniz (alternating series test):
b_m>0 para todo m.
b_{m+1}=\dfrac{1}{3(m+1)+1}=\dfrac{1}{3m+4}<\dfrac{1}{3m+1}=b_m, logo (b_m) é monótona decrescente.
\lim_{m\to\infty} b_m=\lim_{m\to\infty}\dfrac{1}{3m+1}=0.
Pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Contudo a série de termos absolutos é \sum 1/(3m+1) que já vimos que diverge; portanto a convergência em x=4 é condicional (não é absoluta), mas a série converge. Conclusão: x=4 pertence ao conjunto de convergência.
Passo 7
Juntando tudo:
Raio de convergência \,R=2.
Intervalo de convergência centralizado em 2 com raio 2 é (0,4).
Em x=0 a série diverge.
Em x=4 a série converge (condicionalmente).
Portanto o intervalo de convergência (com inclusão/exclusão dos extremos) é (0,4].