pois qualquer potência n^{\alpha/n}\to 1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{2/3}} = 1,
e o teste da raiz dá que a série \sum n^{2/3} r^{n} converge se e somente se |r|<1 (e diverge se |r|>1). Logo o raio de convergência em termos de r é 1.
(Comentário didático: a presença do fator polinomial n^{2/3} não altera o raio porque cresce muito mais devagar que exponenciais; o critério é dominado pelo fator r^{n}.)
Passo 4
Voltemos para a variável x. Lembrando r=\dfrac{(x-3)^2}{9}, a condição |r|<1 é
Portanto o raio de convergência da série (em torno de x=3) é
R=3.
Passo 5
Agora vamos calcular f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3). Primeiro, uso a propriedade padrão de séries de potências: se
f(x)=\sum_{k=0}^\infty c_k (x-3)^k
com raio R>0, então dentro do disco de convergência f é infinitamente diferenciável e
f^{(m)}(3)=m!\, c_m.
No nosso caso, a série só tem termos nas potências ímpares k=2n-1. Identificamos os coeficientes c_k assim:
Para k=2n-1 (com n\ge 1) temos
c_{2n-1}=\frac{n^{2/3}}{3^{2n+1}}.
Para k par, c_k=0.
Explicação do raciocínio: escrevemos a série originalmente como \sum_{n=1}^\infty c_{2n-1}(x-3)^{2n-1}, portanto o coeficiente do monômio (x-3)^k é nulo quando k não é da forma 2n-1.
Passo 6
Calcule f^{(5)}(3). Como 5 é ímpar, existe n tal que 5=2n-1. Resolvendo 2n-1=5 dá n=3. Então