1. Considere a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}(x-3)^{2 n-1}}{3^{2 n+1}}
a) Determine o raio de convergência desta série de potências. e f(x) é a função definida pela série, calcule f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3).

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=3
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}\,(x-3)^{2 n-1}}{3^{2 n+1}}.
O que é pedido:
  • (a) Determinar o raio de convergência desta série de potências.
  • (b) Se f(x) é a função definida por essa série, calcular f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3).
Informações relevantes fornecidas (explicitando cada parte do termo geral):
  • O termo geral depende de n por \sqrt[3]{n^{2}} = n^{2/3}.
  • A potência de (x-3) é (x-3)^{2n-1}.
  • O denominador é 3^{2n+1}=3\cdot 9^{n}.

Passo 2

Vamos escrever a série numa forma que facilite a análise de convergência em termos de uma potência r^{n}. Reescrevendo o termo geral:
\frac{n^{2/3}(x-3)^{2n-1}}{3^{2n+1}} = \frac{1}{3(x-3)}\, n^{2/3}\left(\frac{(x-3)^{2}}{9}\right)^{n}.
Explicando cada passo algébrico:
  • Separei um fator (x-3)^{-1} porque (x-3)^{2n-1}=(x-3)^{-1}(x-3)^{2n}.
  • Observei que 3^{2n+1}=3\cdot(3^2)^n=3\cdot 9^n.
  • Assim o termo passa a ser um fator fora da soma \dfrac{1}{3(x-3)} vezes uma série em potências de r=\dfrac{(x-3)^2}{9}:
f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2/3}(x-3)^{2n-1}}{3^{2n+1}} = \frac{1}{3(x-3)}\sum_{n=1}^\infty n^{2/3}\,r^{n}, \qquad r=\frac{(x-3)^2}{9}.

Passo 3

Agora vamos estudar a convergência da série em r:
\sum_{n=1}^\infty n^{2/3}\,r^{n}.
Usamos o teste da raiz (ou teste de Cauchy) para séries do tipo \sum a_n r^n. O teste da raiz diz que a série \sum a_n r^n converge se
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n r^n|} < 1,
ou seja se |r| < 1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. Aqui a_n=n^{2/3}, e
\sqrt[n]{n^{2/3}} = n^{2/(3n)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1,
pois qualquer potência n^{\alpha/n}\to 1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{2/3}} = 1,
e o teste da raiz dá que a série \sum n^{2/3} r^{n} converge se e somente se |r|<1 (e diverge se |r|>1). Logo o raio de convergência em termos de r é 1.
(Comentário didático: a presença do fator polinomial n^{2/3} não altera o raio porque cresce muito mais devagar que exponenciais; o critério é dominado pelo fator r^{n}.)

Passo 4

Voltemos para a variável x. Lembrando r=\dfrac{(x-3)^2}{9}, a condição |r|<1 é
\left|\frac{(x-3)^2}{9}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x-3)^2}{9}<1.
Isso é equivalente a
(x-3)^2<9 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-3|<3.
Portanto o raio de convergência da série (em torno de x=3) é
R=3.

Passo 5

Agora vamos calcular f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3). Primeiro, uso a propriedade padrão de séries de potências: se
f(x)=\sum_{k=0}^\infty c_k (x-3)^k
com raio R>0, então dentro do disco de convergência f é infinitamente diferenciável e
f^{(m)}(3)=m!\, c_m.
No nosso caso, a série só tem termos nas potências ímpares k=2n-1. Identificamos os coeficientes c_k assim:
  • Para k=2n-1 (com n\ge 1) temos
c_{2n-1}=\frac{n^{2/3}}{3^{2n+1}}.
  • Para k par, c_k=0.
Explicação do raciocínio: escrevemos a série originalmente como \sum_{n=1}^\infty c_{2n-1}(x-3)^{2n-1}, portanto o coeficiente do monômio (x-3)^k é nulo quando k não é da forma 2n-1.

Passo 6

Calcule f^{(5)}(3). Como 5 é ímpar, existe n tal que 5=2n-1. Resolvendo 2n-1=5 n=3. Então
c_5 = \frac{3^{2/3}}{3^{2\cdot 3 +1}} = \frac{3^{2/3}}{3^{7}}.
Simplificando a potência de 3:
c_5 = 3^{2/3-7} = 3^{-19/3}.
Logo, pela fórmula f^{(m)}(3)=m!\,c_m,
f^{(5)}(3) = 5!\, c_5 = 120\cdot 3^{-19/3}.

Passo 7

Calcule f^{(10)}(3). O inteiro 10 é par. Como a série só contém potências ímpares (x-3)^{2n-1}, o coeficiente c_{10} é zero. Assim
f^{(10)}(3)=10!\, c_{10}=10!\cdot 0 = 0.

Passo 8

Somando os resultados:
f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3)=120\cdot 3^{-19/3} + 0 = 120\cdot 3^{-19/3}.

Resposta

Raio de convergência: 3
f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3)=120\cdot 3^{-19/3}

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