Exercício 0. Decore e saiba obter em menos de 2 minutos cada uma das séries de Maclaurin (Série de Taylor centrada na origem) das funções usuais dadas abaixo. Determine também seus respectivos raios de convergência.
b) f(x)=\sin x
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\sin x e pede duas coisas claras:
Determinar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) de f.
Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas:
A função é f(x)=\sin x.
Não há outros dados numéricos; deve-se usar derivadas e a definição de série de Maclaurin.
Passo 2
Lembrete do que é a série de Maclaurin e como obter os coeficientes (explicação didática curta).
A série de Maclaurin de uma função f é a série de Taylor centrada em 0. A fórmula geral dos termos é:
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0, e n! é o fatorial de n. Explicando as peças:
f^{(n)}(0) representa: "pega a função, deriva n vezes, e avalia em x=0".
Dividir por n! ajusta o coeficiente para a expansão em série (vem da fórmula de Taylor).
Na prática, para funções trigonométricas convém calcular algumas derivadas e observar um padrão.
Passo 3
Calcular as derivadas de \sin x e avaliá-las em 0, passo a passo (sem pular).
Observação prática: as derivadas de \sin x se repetem a cada 4 derivadas (ciclo de período 4): \sin,\cos,-\sin,-\cos,\sin,\ldots. Por isso os valores em 0 seguem o padrão 0,1,0,-1,0,1,\ldots.
Passo 4
Expressar o padrão das derivadas avaliadas em 0 de forma geral (para usar na fórmula).
Percebe-se que para índices pares n (ou seja n=0,2,4,\dots) temos f^{(n)}(0)=0.
Para índices ímpares n (ou seja n=1,3,5,\dots) existe uma fórmula fechada:
se n=2k+1 com k=0,1,2,\dots, então
f^{(2k+1)}(0)=(-1)^{k}.
Verificação rápida: para k=0 (n=1) dá +1; para k=1 (n=3) dá -1; para k=2 (n=5) dá +1, etc.
Passo 5
Substituir esse padrão na fórmula de Maclaurin e reindexar a soma só com os termos não-nulos.
Como os termos com n par são zero, só restam os n ímpares. Colocando n=2k+1 na fórmula geral:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots.
Dica de memorização (prática de prova): sin é função ímpar → só aparecem potências ímpares; o sinal alterna (+,-,+,-,\ldots); os denominadores são os fatoriais das potências.
Passo 6
Determinar o raio de convergência (explicação e cálculo com o teste da razão).
Considere o termo geral a_k = (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}. Use o teste da razão para a série em k:
para todo x fixo (porque o denominador cresce sem limite). Pelo teste da razão, se esse limite é menor que 1 a série converge. Como o limite é 0 independentemente de x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Passo 7
Resumo prático para a prova (como obter em menos de 2 minutos):
Calcule as primeiras 4 derivadas e avalie em 0 para ver o ciclo 0,1,0,-1.
Conclua que só ficam potências ímpares e que o coeficiente geral é (-1)^k/(2k+1)!.
Escreva rapidamente:
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
e diga que R=\infty. Isso é suficiente e rápido em prova.