Exercício 0. Decore e saiba obter em menos de 2 minutos cada uma das séries de Maclaurin (Série de Taylor centrada na origem) das funções usuais dadas abaixo. Determine também seus respectivos raios de convergência.
b) f(x)=\sin x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin x e pede duas coisas claras:
  • Determinar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) de f.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\sin x.
  • Não há outros dados numéricos; deve-se usar derivadas e a definição de série de Maclaurin.

Passo 2

Lembrete do que é a série de Maclaurin e como obter os coeficientes (explicação didática curta).
A série de Maclaurin de uma função f é a série de Taylor centrada em 0. A fórmula geral dos termos é:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0, e n! é o fatorial de n. Explicando as peças:
  • f^{(n)}(0) representa: "pega a função, deriva n vezes, e avalia em x=0".
  • Dividir por n! ajusta o coeficiente para a expansão em série (vem da fórmula de Taylor).
    Na prática, para funções trigonométricas convém calcular algumas derivadas e observar um padrão.

Passo 3

Calcular as derivadas de \sin x e avaliá-las em 0, passo a passo (sem pular).
  • f(x)=\sin x. Avaliando em 0: f(0)=\sin 0=0.
  • Derivada 1: f'(x)=\cos x. Avaliando: f'(0)=\cos 0=1.
  • Derivada 2: f''(x)=-\sin x. Avaliando: f''(0)=-\sin 0=0.
  • Derivada 3: f^{(3)}(x)=-\cos x. Avaliando: f^{(3)}(0)=-\cos 0=-1.
  • Derivada 4: f^{(4)}(x)=\sin x. Avaliando: f^{(4)}(0)=\sin 0=0.
Observação prática: as derivadas de \sin x se repetem a cada 4 derivadas (ciclo de período 4): \sin,\cos,-\sin,-\cos,\sin,\ldots. Por isso os valores em 0 seguem o padrão 0,1,0,-1,0,1,\ldots.

Passo 4

Expressar o padrão das derivadas avaliadas em 0 de forma geral (para usar na fórmula).
Percebe-se que para índices pares n (ou seja n=0,2,4,\dots) temos f^{(n)}(0)=0.
Para índices ímpares n (ou seja n=1,3,5,\dots) existe uma fórmula fechada:
se n=2k+1 com k=0,1,2,\dots, então
f^{(2k+1)}(0)=(-1)^{k}.
Verificação rápida: para k=0 (n=1) dá +1; para k=1 (n=3) dá -1; para k=2 (n=5) dá +1, etc.

Passo 5

Substituir esse padrão na fórmula de Maclaurin e reindexar a soma só com os termos não-nulos.
Como os termos com n par são zero, só restam os n ímpares. Colocando n=2k+1 na fórmula geral:
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
Usando f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k, obtemos a forma explícita:
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Escrevendo os primeiros termos para decorar:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots.
Dica de memorização (prática de prova): sin é função ímpar → só aparecem potências ímpares; o sinal alterna (+,-,+,-,\ldots); os denominadores são os fatoriais das potências.

Passo 6

Determinar o raio de convergência (explicação e cálculo com o teste da razão).
Considere o termo geral a_k = (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}. Use o teste da razão para a série em k:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{x^{2(k+1)+1}}{(2k+3)!}\cdot\frac{(2k+1)!}{x^{2k+1}}\right| = \frac{x^{2}}{(2k+3)(2k+2)}.
Tomando o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=0
para todo x fixo (porque o denominador cresce sem limite). Pelo teste da razão, se esse limite é menor que 1 a série converge. Como o limite é 0 independentemente de x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o raio de convergência é infinito:
R=\infty.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como obter em menos de 2 minutos):
  • Calcule as primeiras 4 derivadas e avalie em 0 para ver o ciclo 0,1,0,-1.
  • Conclua que só ficam potências ímpares e que o coeficiente geral é (-1)^k/(2k+1)!.
  • Escreva rapidamente:
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
e diga que R=\infty. Isso é suficiente e rápido em prova.

Resposta

\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots
R=\infty

Exercícios relacionados