1. Seja f(x)\) uma função periódica de período \(2 \pi\) definida por \[f(x)= \begin{cases}1, & 0<x<\pi \\\\ 0, & -\pi<x<0\end{cases}
Faça um gráfico dessa função e determine sua expansão em série de Fourier. Para qual valor a série deve convergir no ponto (x=\pi / 2] ?

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 2\pi\) definida por \[f(x)=\begin{cases} 1, & 0<x<\pi,\\[4pt] 0, & -\pi<x<0. \end{cases}
As perguntas são:
  • Fazer um gráfico dessa função (no intervalo fundamental -\pi<x<\pi\] e depois estender periodicamente). - Determinar a expansão em série de Fourier (período \(2\pi).
    - Para qual valor a série deve convergir no ponto x=\pi/2?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • f é definida por partes no intervalo -\pi<x<\pi e é 2\pi-periódica.
  • Há descontinuidades nos pontos equivalentes a x=0 e x=\pm\pi (limites à esquerda e à direita são diferentes nesses pontos).]

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral da série de Fourier para uma função de período 2\pi, que é a ferramenta que usaremos. Se f é integrável em [-\pi,\pi], sua série de Fourier é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por (cada integral é tomada em [-\pi,\pi]):
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.
Explicando rapidamente o porquê: as funções \{1,\cos(nx),\sin(nx)\} formam um sistema ortogonal em [-\pi,\pi], então projetamos f nessa base para obter os coeficientes (esses são os “coeficientes de projeção” sobre cada modo).
No nosso caso, f(t)=1 para t\in(0,\pi) e f(t)=0 para t\in(-\pi,0). Assim, todas as integrais sobre [-\pi,\pi] reduzem-se a integrais sobre [0,\pi], porque fora desse subintervalo f vale zero.

Passo 3

Calcular a_0. Pela definição,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} 1\,dt,
pois f(t)=0 em [-\pi,0] e f(t)=1 em (0,\pi). Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\cdot\pi=1.
Logo o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.
Comentário didático: o termo a_0/2 representa a média (valor médio) da função no período; aqui a função vale 1 metade do tempo e 0 a outra metade, então a média é 1/2.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Pela fórmula,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(nt)\,dt.
Computando a integral,
\int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt = \left[\frac{\sin(nt)}{n}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=\frac{0-0}{n}=0.
Portanto
a_n=0\qquad\text{para todo }n\ge1.
Explicação: \sin(n\pi)=0 para qualquer inteiro n, por isso os coeficientes das cossenos desaparecem.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1. Pela definição,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin(nt)\,dt.
Avaliaremos a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt = \left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n} = -\frac{(-1)^n-1}{n} = \frac{1-(-1)^n}{n}.
Logo
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n} = \frac{1-(-1)^n}{\pi n}.
Agora simplificamos por paridade de n:
  • Se n é par, então (-1)^n=1 e então b_n=0.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e então b_n=\dfrac{1-(-1)}{\pi n}=\dfrac{2}{\pi n}.
Portanto somente os senos de índices ímpares aparecem, com coeficientes b_{2k+1}=\dfrac{2}{\pi(2k+1)}.

Passo 6

Escrever a série de Fourier com os coeficientes encontrados. Como a_0/2=1/2, a_n=0 e b_n dado acima, obtemos
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) = \frac{1}{2}+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\sin(nx).í
Reindexando com n=2k+1 ( k=0,1,2,\dots) ficamos com a forma mais comum:
\boxed{\,f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}\,}
Obs.: Escrevi = em vez de \sim porque a série converge (em pontos de continuidade) para f(x) e, em pontos de descontinuidade, converge para a média dos limites laterais (teorema de Dirichlet para séries de Fourier). Essa propriedade vale para funções com número finito de descontinuidades e integráveis.
Comentário didático sobre convergência nos pontos de descontinuidade: nos pontos onde f tem salto (por exemplo x=0,\pi,\dots), a série de Fourier converge para \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}. No nosso caso, no ponto x=0 os limites são f(0^-)=0 e f(0^+)=1, então a série converge para \tfrac{1}{2} em x=0. Mesmo se a definição pontual de f nesses pontos for alterada, a série tem esse comportamento natural.

Passo 7

Determinar a convergência no ponto x=\pi/2. Primeiro observe que f é contínua em x=\pi/2 (pois \pi/2\in(0,\pi) onde f é constante igual a 1). Pelo teorema geral, a série de Fourier converge em pontos de continuidade para o valor da função naquele ponto. Logo a série converge para
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Verificação explícita (legal e instructiva): substituindo x=\pi/2 na série encontrada:
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)\frac{\pi}{2}\bigr)}{2k+1}.
Note que \sin\bigl((2k+1)\frac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^k. Então a soma torna-se a série alternada conhecida
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Assim
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
confirmando o resultado.

Passo 8

Descrição do gráfico (como pediram: “faça um gráfico”): no intervalo fundamental -\pi<x<\pi a função vale:
  • f(x)=0 para -\pi<x<0: segmento horizontal em altura 0.
  • f(x)=1 para 0<x<\pi: segmento horizontal em altura 1.
    Nos pontos x=0 e x=\pm\pi há saltos (descontinuidades); ao estender periodicamente de período 2\pi, esse padrão se repete para todos os intervalos (2m\pi, (2m+1)\pi) e ((2m-1)\pi, 2m\pi). Se for desenhar, marque retângulos alternados: em cada período, metade do período em nível 1 e a outra metade em nível 0. Observação prática: a série de Fourier dará as oscilações de Gibbs perto desses saltos, mas longe dos saltos as somas parciais aproximam bem os degraus.

Resposta

Gráfico: função retangular 2\pi-periódica igual a 0 em -\pi<x<0 e igual a 1 em 0<x<\pi, com saltos em x=k\pi ( k\in\mathbb{Z}).
Série de Fourier:
f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.
Valor da série em x=\pi/2:
\text{a série converge para }1.é

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