- Seja
Faça um gráfico dessa função e determine sua expansão em série de Fourier. Para qual valor a série deve convergir no ponto (x=\pi / 2] ?
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período
As perguntas são:
- Fazer um gráfico dessa função (no intervalo fundamental
).
- Para qual valor a série deve convergir no ponto?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é definida por partes no intervalo e é -periódica. - Há descontinuidades nos pontos equivalentes a
e (limites à esquerda e à direita são diferentes nesses pontos).]
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula geral da série de Fourier para uma função de período
, que é a ferramenta que usaremos. Se
é integrável em
, sua série de Fourier é
onde os coeficientes são dados por (cada integral é tomada em
):
Explicando rapidamente o porquê: as funções
formam um sistema ortogonal em
, então projetamos
nessa base para obter os coeficientes (esses são os “coeficientes de projeção” sobre cada modo).
No nosso caso,
para
e
para
. Assim, todas as integrais sobre
reduzem-se a integrais sobre
, porque fora desse subintervalo
vale zero.
Passo 3
Calcular
. Pela definição,
pois
em
e
em
. Portanto
Logo o termo constante na série é
.
Comentário didático: o termo
representa a média (valor médio) da função no período; aqui a função vale 1 metade do tempo e 0 a outra metade, então a média é
.
Passo 4
Calcular
para
. Pela fórmula,
Computando a integral,
Portanto
Explicação:
para qualquer inteiro
, por isso os coeficientes das cossenos desaparecem.
Passo 5
Calcular
para
. Pela definição,
Avaliaremos a integral:
Logo
Agora simplificamos por paridade de
:
- Se
é par, então e então . - Se
é ímpar, então e então .
Portanto somente os senos de índices ímpares aparecem, com coeficientes
.
Passo 6
Escrever a série de Fourier com os coeficientes encontrados. Como
,
e
dado acima, obtemos
Reindexando com
(
) ficamos com a forma mais comum:
Obs.: Escrevi
em vez de
porque a série converge (em pontos de continuidade) para
e, em pontos de descontinuidade, converge para a média dos limites laterais (teorema de Dirichlet para séries de Fourier). Essa propriedade vale para funções com número finito de descontinuidades e integráveis.
Comentário didático sobre convergência nos pontos de descontinuidade: nos pontos onde
tem salto (por exemplo
), a série de Fourier converge para
. No nosso caso, no ponto
os limites são
e
, então a série converge para
em
. Mesmo se a definição pontual de
nesses pontos for alterada, a série tem esse comportamento natural.
Passo 7
Determinar a convergência no ponto
. Primeiro observe que
é contínua em
(pois
onde
é constante igual a
). Pelo teorema geral, a série de Fourier converge em pontos de continuidade para o valor da função naquele ponto. Logo a série converge para
Verificação explícita (legal e instructiva): substituindo
na série encontrada:
Note que
. Então a soma torna-se a série alternada conhecida
Assim
confirmando o resultado.
Passo 8
Descrição do gráfico (como pediram: “faça um gráfico”): no intervalo fundamental
a função vale:
-
para : segmento horizontal em altura . -
para : segmento horizontal em altura .
Nos pontose há saltos (descontinuidades); ao estender periodicamente de período , esse padrão se repete para todos os intervalos e . Se for desenhar, marque retângulos alternados: em cada período, metade do período em nível e a outra metade em nível . Observação prática: a série de Fourier dará as oscilações de Gibbs perto desses saltos, mas longe dos saltos as somas parciais aproximam bem os degraus.
Resposta
Gráfico: função retangular
-periódica igual a
em
e igual a
em
, com saltos em
(
).
Série de Fourier:
Série de Fourier:
Valor da série em
: