Exercício 0. Decore e saiba obter em menos de 2 minutos cada uma das séries de Maclaurin (Série de Taylor centrada na origem) das funções usuais dadas abaixo. Determine também seus respectivos raios de convergência.
d) f(x)=\frac{1}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{1-x}:
  • Obter a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) da função, isto é, escrever f(x) como uma série de potências em torno de x=0.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas: a própria função f(x)=\dfrac{1}{1-x}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Lembrete rápido do que é série de Maclaurin e como se obtém em geral.
A série de Maclaurin de uma função f que é infinitamente diferenciável em 0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0.
Aqui:
  • n é o índice da soma (vai de 0 até infinito),
  • f^{(n)}(0) são as derivadas em 0,
  • x^{n} é a potência de x.
Também é útil lembrar a série geométrica básica: para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
Essa identidade é a forma mais direta de obter a série para f(x)=\dfrac{1}{1-x}.

Passo 3

Derivação imediata usando a série geométrica (método rápido e prático para prova).
Considere a soma
S=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots.
Multiplicando ambos os lados por 1-x obtemos (formalmente manipulando séries geométricas)
(1-x)S=(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots)=1,
pois todos os termos internos cancelam. Assim
S=\frac{1}{1-x}.
Portanto, para |x|<1,
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.

Passo 4

Derivação alternativa via fórmula de Taylor (confirmação e entendimento das derivadas).
Calcular as derivadas de f(x)=(1-x)^{-1}. Pela regra da cadeia e observando o padrão,
f^{(n)}(x)=n!\,(1-x)^{-n-1}.
Avaliando em x=0
f^{(n)}(0)=n!\,.
Aplicando a fórmula da série de Maclaurin,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n},
o que coincide com o resultado do passo anterior.

Passo 5

Determinar o raio de convergência (prova do domínio de validade).
Usando o teste da razão para a série \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}: calcular
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{x^{n}}\right|=|x|.
A série converge se esse limite for menor que 1, isto é, se |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1.
Outra maneira formal: os coeficientes a_{n}=1 têm \limsup_{n\to\infty}|a_{n}|^{1/n}=1, e a fórmula R=1/\limsup|a_{n}|^{1/n} R=1.

Passo 6

Comportamento nos extremos da bola de convergência ( x=\pm1).
  • Para x=1 a série vira 1+1+1+\cdots, que diverge.
  • Para x=-1 a série vira 1-1+1-1+\cdots, que não converge (é oscilante; não converge no sentido usual).
    Logo, a convergência é estritamente para |x|<1.

Passo 7

Dica prática para a prova (memorização e obtenção rápida):
Decore que \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} para |x|<1. Para obter rapidamente: pense “série geométrica”, ou escreva S=\sum x^{n} e faça (1-x)S=1. Se precisar justificar pelo método de Taylor, lembre que f^{(n)}(0)=n! para essa função, logo todos os coeficientes da série são 1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} para |x|<1
Raio de convergência: R=1

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