Exercício 1. Defina base e dimensão de um espaço vetorial
. Mostre que a dimensão está bem definida.
Passo 1
O enunciado pede primeiro para definirmos o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial
. Depois, precisamos provar que a dimensão de
não depende da base escolhida, isto é, que qualquer par de bases de
tem o mesmo número de vetores. Para isso, vamos usar o Lema de Troca de Steinitz, que estabelece uma relação entre conjuntos geradores e conjuntos linearmente independentes.
Passo 2
Definições fundamentais:
– Dizemos que um conjunto de vetores
é gerador de
se
ou seja, todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear finita de vetores de
.
– Dizemos que
é linearmente independente se, sempre que
então todos os escalares
são zero.
– Uma base de
é um conjunto
que é simultaneamente gerador e linearmente independente.
– A dimensão de
, denotada
, é o número de vetores de qualquer base de
. Precisamos mostrar que essa definição faz sentido: não importa qual base eu escolha, seu tamanho (seja finito ou infinito) é sempre o mesmo.
Passo 3
Lema de Troca de Steinitz (forma útil):
Seja um conjunto gerador finito e
um conjunto linearmente independente. Então
e, de fato, pode-se substituir até
vetores de
por vetores de
de modo a obter outro gerador de
.
Seja
Esboço da prova do lema: iteramos trocas. Como
gera
, cada vetor de
pode ser escrito como combinação de vetores de
. Mostra-se então que, se
é maior que
, surge contradição de dependência linear em
. Logo
.
Passo 4
Provar que duas bases têm mesmo cardinalidade. Seja
e
duas bases de
. Como
é gerador e
é linearmente independente, o Lema de Steinitz dá
Invertendo o papel, usando que
é gerador e
é independente, segue
Logo
.
Isto mostra que, se existem bases finitas, todas têm o mesmo número de elementos. No caso infinito, o mesmo argumento de comparação de cardinalidades vale usando teoria de cardinalidade (extensão do Lema de Steinitz permite comparar cardinais).
Passo 5
Conclusão: definimos
como o número de vetores de uma base de
. O argumento anterior garante que qualquer outra base tem exatamente esse mesmo número de vetores. Portanto, a dimensão está bem definida, independente da base escolhida.
Resposta
Definimos base de
como um conjunto de vetores de
que é simultaneamente gerador e linearmente independente, e dimensão de
como o número de vetores de qualquer base. A dimensão está bem definida porque, pelo Lema de Troca de Steinitz, quaisquer duas bases de
têm sempre a mesma cardinalidade.