Exercício 1. Defina base e dimensão de um espaço vetorial U. Mostre que a dimensão está bem definida.

Passo 1

O enunciado pede primeiro para definirmos o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial U. Depois, precisamos provar que a dimensão de U não depende da base escolhida, isto é, que qualquer par de bases de U tem o mesmo número de vetores. Para isso, vamos usar o Lema de Troca de Steinitz, que estabelece uma relação entre conjuntos geradores e conjuntos linearmente independentes.

Passo 2

Definições fundamentais:
– Dizemos que um conjunto de vetores Bsubseteq U é gerador de U se
span(B)=U,
ou seja, todo vetor de U pode ser escrito como combinação linear finita de vetores de B.
– Dizemos que B é linearmente independente se, sempre que
sumi=1^n alphai bi = 0(alphaiinBbb K,;biin B),
então todos os escalares alphai são zero.
– Uma base de U é um conjunto Bsubseteq U que é simultaneamente gerador e linearmente independente.
– A dimensão de U, denotada dim U, é o número de vetores de qualquer base de U. Precisamos mostrar que essa definição faz sentido: não importa qual base eu escolha, seu tamanho (seja finito ou infinito) é sempre o mesmo.

Passo 3

Lema de Troca de Steinitz (forma útil):
Seja Ssubseteq U um conjunto gerador finito e Lsubseteq U um conjunto linearmente independente. Então |L|<=|S| e, de fato, pode-se substituir até |L| vetores de S por vetores de L de modo a obter outro gerador de U.
Esboço da prova do lema: iteramos trocas. Como S gera U, cada vetor de L pode ser escrito como combinação de vetores de S. Mostra-se então que, se L é maior que S, surge contradição de dependência linear em L. Logo |L|<=|S|.

Passo 4

Provar que duas bases têm mesmo cardinalidade. Seja B e B' duas bases de U. Como B é gerador e B' é linearmente independente, o Lema de Steinitz dá
|B'|<= |B|
Invertendo o papel, usando que B' é gerador e B é independente, segue
|B|<= |B'|
Logo |B|=|B'|.
Isto mostra que, se existem bases finitas, todas têm o mesmo número de elementos. No caso infinito, o mesmo argumento de comparação de cardinalidades vale usando teoria de cardinalidade (extensão do Lema de Steinitz permite comparar cardinais).

Passo 5

Conclusão: definimos dim U como o número de vetores de uma base de U. O argumento anterior garante que qualquer outra base tem exatamente esse mesmo número de vetores. Portanto, a dimensão está bem definida, independente da base escolhida.

Resposta

Definimos base de U como um conjunto de vetores de U que é simultaneamente gerador e linearmente independente, e dimensão de U como o número de vetores de qualquer base. A dimensão está bem definida porque, pelo Lema de Troca de Steinitz, quaisquer duas bases de U têm sempre a mesma cardinalidade.

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