Sejam [x, 1] e [2 x-1,2 x+1] duas bases ordenadas para P2.
(a) Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas de [ 2 x- 1,2 x+1] para [x, 1].
(b) Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas de [x, 1] para [2 x-1,2 x+1].

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases ordenadas do espaço de polinômios de grau <=1 (denotado aqui por P2, embora efetivamente seja dimensão 2):
B = [,x,,1,]
B' = [,2x-1,,2x+1,]
Precisamos achar:
(a) a matriz de mudança de coordenadas de B' para B;
(b) a matriz de mudança de coordenadas de B para B'.
Para isso, vamos expressar cada vetor de uma base em coordenadas da outra.

Passo 2

Expressão de 2x-1 em coordenadas da base B=[x,1].
Queremos ,2x-1 = acdot x + bcdot1. Igualando coeficientes de x e termo constante:
coeficiente de x: 2 = a
termo constante: -1 = b
Logo, as coordenadas de 2x-1 em B são 2-1.

Passo 3

Expressão de 2x+1 em coordenadas da base B=[x,1].
Queremos ,2x+1 = ccdot x + dcdot1. Igualando coeficientes:
coeficiente de x: 2 = c
termo constante: 1 = d
Logo, as coordenadas de 2x+1 em B são 21.

Passo 4

Matriz de mudança de base de B' para B.
Por definição, cada coluna desta matriz é a coordenada, em B, de um vetor de B', na ordem dada. Assim, para (a):
PB B' ;=; 2 & 2 -1 & 1

Passo 5

Matriz de mudança de base de B para B'.
Basta inverter PB B'. Primeiro o determinante:
det = 2cdot1 - 2cdot(-1) = 2 + 2 = 4
A inversa é
PB' B = l(PB B'r)^-1 = 14 1 & -2 1 & 2

Resposta

(a) PB B' = 2 & 2 -1 & 1
(b) PB' B = 14 1 & -2 1 & 2

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