Sejam e duas bases ordenadas para .
(a) Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas de [ para .
(b) Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas de para .
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases ordenadas do espaço de polinômios de grau (denotado aqui por , embora efetivamente seja dimensão ):
–
–
Precisamos achar:
(a) a matriz de mudança de coordenadas de para ;
(b) a matriz de mudança de coordenadas de para .
Para isso, vamos expressar cada vetor de uma base em coordenadas da outra.
Passo 2
Expressão de em coordenadas da base .
Queremos . Igualando coeficientes de e termo constante:
coeficiente de :
termo constante:
Logo, as coordenadas de em são .
Passo 3
Expressão de em coordenadas da base .
Queremos . Igualando coeficientes:
coeficiente de :
termo constante:
Logo, as coordenadas de em são .
Passo 4
Matriz de mudança de base de para .
Por definição, cada coluna desta matriz é a coordenada, em , de um vetor de , na ordem dada. Assim, para (a):
Passo 5
Matriz de mudança de base de B para B'.
Basta inverter PB B'. Primeiro o determinante: